Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

Bài giảng Phương pháp số: Bài 5, trình bày các nội dung sau: Phép thế giải tích, sai số L(f) – L(p), đạo hàm tại các điểm phân biệt, một số quy tắc cơ bản, các quy tắc tổng hợp, quy tắc làm tăng độ chính xác,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị VinhBÀI 5ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂNĐẶT VẤN ĐỀ (1)1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàmphức tạp, hay một hàm cho dưới dạng bảng bởi một đa thứcđể các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đượcdễ dàng hơn. Chúng bao gồmI(f) baf(x)dx và D(f) f (a)Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉL(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x) L có thể thực hiện được dễ dàng hơn trên p(x) vì nó làmột đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tíchphânPHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 52ĐẶT VẤN ĐỀ (2)2. SAI SỐ L(f) – L(p):Do tính tuyến tính của phép toán LL(f + g) = L(f) + L(g)L(af) = aL(f)trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số.Tính tuyến tính dẫn đếnL(f) – L(p) = L(e)trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x),f(x) = p(x) + e(x)p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểmx0, … , xn.PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 53ĐẶT VẤN ĐỀ (3)2. SAI SỐ L(f) – L(p):Sử dụng đa thức nội suy NewtonSai số E(f) = L(f) – L(p) tính được bằng cách áp dụng toántử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức(2.16) và (2.18)en ( x )  f ( x )  p n ( x )n f [ x 0 , ..., xn, x ] Π(x  x j )j0f (n1) (ξ) n (x  x j ), ξ  [c, d](n  1)! j  0[c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x0, x1, …, xnPHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 55ĐẠO HÀM (1)1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, …, xk є [c; d],thì theo công thức nội suy Newton (2.37)f(x) = pk(x) + f[x0, . . . , xk, x] Ψk(*)trong đó pk(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x0, …, xk, vàΨ k (x) Dok (x  x j)j 0df[x0 , ,x k ,x]  f[x0 , ,x k ,x,x]dxnếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận được (x)f (x)  pk (x)  f[x 0,,x k,x,x] Ψk(x)  f[x 0,,x k,x] ΨkPHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 56