Bài giảng Phương pháp số: Chương 1 - Hà Thị Ngọc Yến

Bài giảng "Phương pháp số: Chương 1 - Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy" được biên soạn bao gồm các nội dung chính sau: Các bài toán về đa thức nội suy; Sai số của đa thức nội suy; Tối ưu hóa mốc nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp số: Chương 1 - Hà Thị Ngọc Yến XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 9/2020 ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi  x j i  j, xi [a, b] ( ) - Đa thức bậc không quá n, Pn x đi qua bộ điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các mốc nội suy  xi i=0,n - Khi đó f ( x )  Pn ( x ) ĐA THỨC NỘI SUY • Định lý: Với bộ điểm  xi , yi i =0,n , xi  x j i  j , cho trước, đa thức nội suy tồn tại và duy nhất ĐA THỨC NỘI SUY Pn ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n ao + a1x0 + a2 x02 + an x0n = y0  ao + a1x1 + a2 x12 + an x1n = y1 Pn ( xi ) = yi i = 0, n     a +  o 1 n a x + a x 2 n 2 + an n = yn x n ĐA THỨC NỘI SUY • Định thức n 1 x0 x0 n 1 x1 x1 ( ) =  xi − x j  0. i j 1 xn xnn • Vậy hệ có nghiệm duy nhất hay đa thức nội suy tồn tại và duy nhất SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY • Đặt F ( t ) = Rn ( t ) − kwn+1 ( t ) • Chọn k sao cho F ( x ) := f ( x ) − Pn ( x ) − kwn+1 ( x ) = 0 • F(t) có ít nhất n+2 nghiệm phân biệt nên F’(x) có ít nhất n+1 nghiệm phân biệt, ….. SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY   [a, b], F ( n+1) ( ) = 0 ( n+1) k = f ( ) ( n + 1)! ( n+1)  Rn ( x ) = f ( ) w ( ) ( x ) ( n + 1)! n +1 Ví dụ 1 • Xấp xỉ hàm f ( x ) = 25 x + 1 2 • Với 5 mốc nội suy Ví dụ • Với 10 và 17 mốc nội suy Tối ưu hóa mốc nội suy • Bài toán: Chọn mốc nội suy sao cho sai số xấp xỉ hàm đạt được nhỏ nhất f − Pn = sup Rn ( x )  a ,b M n+1 R( x)  wn+1 ( x ) ( n + 1)! f − Pn → min  wn+1 ( x ) → min Tối ưu mốc nội suy • Xét khoảng nội suy [-1,1] • Xét họ các hàm đa thức Chebysev: Tn ( x ) = cos ( n.arccos x ) Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x T2 ( x ) = 2 x − 1, Tn ( x ) = 2 2 n−1 n x + Tối ưu mốc nội suy • Định lý: trong các đa thức bậc n có hệ số cả 1 bằng 1, đa thức T n−1 n ( x ) là đa thức có độ 2 lệch so với 0 nhỏ nhất, tức là p ( x ) = x n + an−1x n−1 + + a0 Tn ( x ) max p ( x )  max  −1,1  −1,1 2n−1 Tối ưu mốc nội suy • Chọn mốc nội suy là n+1 các nghiệm của Tn ( x ) i xi = cos , i = 0, n. n • Trường hợp khoảng nội suy  a, b  đặt ẩn: 2x − ( b + a ) t= b−a