Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số

Bài giảng “Phương pháp tính - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số” trình bày về khái niệm sai số, phân loại sai số, cách biểu diễn sai số, cách biểu diễn số thập phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số Chương 1KHÁI NIỆM VỀSỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐI. KHÁI NIỆM SAI SỐ : Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác gọi là sai số. Ta có 4 loại sai số : ➢ Sai số giả thiết ➢ Sai số số liệu ban đầu ➢ Sai số phương pháp ➢ Sai số tính toánSai số phương pháp : Các phương pháp dùngđể giải các bài toán kỹ thuật thường là cácphương pháp giải xấp xỉ gần đúng, mỗiphương pháp có 1 sai số nhất định nào đó, saisố này gọi là sai số phương phápSai số tính toán : Tính toán bằng máy tínhthường chỉ sử dụng 1 số hữu hạn các chữ sốhoặc làm tròn số, các sai số này tích lũy trongquá trình tính toán gọi là sai số tính toán haysai số làm tròn.II. CÁCH BIỂU DIỄN SAI SỐ :Gọi A là số chính xác của bài toánSố a gọi là số gần đúng của A nếu nó xấp xỉ Aký hiệu a ≈ AĐại lương Δ = | a – A |gọi là sai số thực sự của số gần đúng a1. Sai số tuyệt đối Trong thực tế do không tính được A, ta tìm 1 số dương Δa càng bé càng tốt thoả | a – A | ≤ ΔaΔa gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a Ký hiệu A = a ±Δa 2. sai số tương đối : (tính theo %) Sai số tương đối của số gần đúng a là số dương δa tính theo công thức δa = Δa / |a|Ví dụ : Giả sử A = π; a = 3.14 là số gần đúng của π Xác định sai số• Giải• Ta có• π = 3.14159265358979323846264338327…• ⇒ | 3.14 - π | < 0.01• ⇒ Δa = 0.01 δa = 0.3185% Mặt khác | 3.14 - π | < 0.0016 ⇒ Δa = 0.0016 δa = 0.05096% Do đó cùng 1 giá trị gần đúng có thể cónhiều sai số tuyệt đối khác nhau, trong ví dụnày, sai số 0.0016 là tốt hơnVí dụ : Cho a = 1.85 với sai số tương đối là0.12%, tính sai số tuyệt đối Δa = |a| * δa = 1.85 * 0.12 /100 = 0.002223. Sai số của một hàm :• Cho hàm y = f (x1, x2, . . . , xn)• Mỗi biến xi có sai số Δxi. Xác định sai số của y Sai số tuyệt đối Sai số tương đốiVí dụ : Cho A = 1.5±0.002 B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05Tính sai số tuyệt đối1. x = a + b2. y = 20a – 10b + c3. z = a + bc4. t = a3 + 2a2 +8• Giải• 1. Δx = Δa + Δb = 0.002 + 0.001 = 0.003• 2. Δy = 20Δa + 10 Δb + Δc = 0.1• 3. Δz = Δa + |c| Δb + |b| Δc = 0.02115• 4. Δt = |3a2 + 4a|Δa = 0.0255Ví dụ : Cho f = x3+xy+y3.Biết x=2.4347±0.0035, y=2.6278 ±0.0062.Tính sai số tuyệt đối Δf•Giải Ví dụ : Diện tích đường tròn S = πR2 với π = 3.14 ± 0.002 và R = 5.25 ± 0.001 m Tính sai số tuyệt đối và tương đối của SGiải :sai số tuyệt đối ΔS = R2 *Δπ + 2πR*ΔR = (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001 = 0.088095Sai số tương đối S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625 δS = ΔS / S = 0.1018%III. BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂNSố thập phân a được biểu diễn dưới dạng a = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-n1. Làm tròn số Làm tròn số là bỏ 1 số các chữ số lẻ bên phảiđể được 1 số ngắn gọn hơn và gần đúng với a.Giả sử ta muốn làm tròn đến chữ số lẻ thứk (1 ≤ k ≤ n). xét 2 số a- = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-k a+ = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ...(a-k+1)chọn số làm tròn là a- hoặc a+ theo điều kiện Nếu a-k-1 (chữ số sau chữ số lẻ thứ k) < 5 : ã = a- ≥ 5 : ã = a+Ví dụ :Cho a = 456.12345678▪ Làm tròn với 2 chữ số lẻ ã = a- = 456.12▪ Làm tròn với 4 chữ số lẻ ã = a+ = 456.1235▪ Sai số làm tròn Đặt Ta có Vậy sai số làm tròn :* NX : Ta có Δã ≥ Δa. Vậy khi làm tròn saisố sẽ tăng lên θ, nên trong tính toán ta tránhlàm tròn các phép toán trung gian, chỉ làmtròn kết quả cuối cùng.Ví dụ : Cho số CX A, a = 187.123456 là sốgần đúng với sai số là 0.0001. Gọi ã là số làmtròn của a với 4 chữ số lẻ. Tính sai số của ã sovới A giải Sai số θ = | 187.1235 – 187.123456 | = 0.000044 Vậy = 0.000044 + 0.0001 = 0.000144Bài tậpBiết A có giá trị gần đúng là a=3.2705 với sai sốtương đối là δa= 0.64%. Ta làm tròn a thành ã với 2chữ số lẻ. Tính sai số tuyệt đối của ã giải Sai số θ = | 3.27 – 3.2705 | = 0.0005 Vậy = 0.0005 +0.0209312=0.0214312Chú ý :Trường hợp làm tròn trong bất đẳng thức, tadùng khái niệm làm tròn lên và làm trònxuống°Làm tròn lên : ã = a+ , áp dụng cho các sốở vế lớn hơn°Làm tròn xuống : ã = a- , áp dụng cho cácsố ở vế nhỏ hơnVí dụ : ▪ a < 13.9236làm tròn lên với 2 chữ số lẻ ta được a < 13.93 ▪b > 78.6789làm tròn xuống ta được b > 78.67 ...