Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm” cung cấp cho người học các kiến thức: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, Spline bậc 3, bài toán xấp xỉ thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm Chương 4NỘI SUY VÀXẤP XỈ HÀMI. ĐẶT BÀI TOÁN :Để tính giá trị của một hàm liên tục bấtkỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đathức, tính giá trị của đa thức từ đó tínhđược giá trị gần đúng của hàmXét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn ▪ Các giá trị xk, k = 0, 1, .., n được sắp theothứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy▪ Các giá trị yk = f(xk) là các giá trị cho trướccủa hàm tại xkBài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n thoảđiều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Đa thức nàygọi là đa thức nội suy của hàm f(x).II. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE:y = f(x) và bảng số x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên [a,b]=[x0, xn]. Cho hàmĐặtTa cóĐa thứccó bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = ykgọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm fVí dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 y 1 -1 2Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tínhgần đúng f(2).Giải n=2Đa thức nội suy Lagrangef(2) ≈ Ln(2) = -2/3❖ Cách biểu diễn khác :Để tính giá trị của Ln(x), ta lập bảng x x0 x1 .... xn x0 x- x0 x0- x1 .... x0- xn D0 x1 x1- x0 x- x1 .... x1- xn D1 tích dòng … .... .... .... .... … xn xn- x0 xn- x1 .... x- xn Dn ω(x) tích đường chéoVí dụ : Cho hàm f và bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần đúng f(-6) Ta lập bảng tại x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 3 -2 -5 30 -7 2 1 -3 -6 -4 -30 5 3 -2 -6Vậy f(-6) ≈ L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gần đúng f(2) Ta lập bảng tại x = 2 x=2 0 1 3 4 0 2 -1 -3 -4 -24 1 1 1 -2 -3 6 3 6 3 2 -1 -1 4 -24 4 3 1 -2 4Vậy f(2) ≈ Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2● TH đặc biệt : các điểm nút cách đềuvới bước h = xk+1 – xk ĐặtVí dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.1 1.2 1.3 1.4 y 15 18 19 24 Tính gần đúng f(1.25)giảiTa có n = 3 x = 1.25 h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5Vậy f(1.25) ≈ 18.375❖ Công thức đánh giá sai số : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục trên [a,b]. Đặt Ta có công thức sai sốVí dụ : Cho hàm f(x)=2x trên đoạn [0,1]. Đánh giásai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểmnút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1GiảiTa có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x⇒ M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5công thức sai sốIII. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON:1. Tỉ sai phân :Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b]=[xo, xn] vàbảng số x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... ynĐại lượnggọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [xk,xk+1]Tỉ sai phân cấp 2Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.0 1.3 1.6 2.0 y 0.76 0.62 0.46 0.28 Tính các tỉ sai phânGiải : ta lập bảng các tỉ sai phân k xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] 0 1.0 0.76 -0.4667 -0.111 0.23 1 1.3 0.62 -0.5333 0.119 2 1.6 0.46 -0.45 3 2.0 0.282. Đa thức nội suy Newton : ❖ Công thức Newton tiến❖ Công thức Newton lùiĐể đánh giá sai số của đa thức nội suy Newton, ta dùngcông thức sai số của đa thức nội suy Lagrange