Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 1 - Dư Đức Thắng

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng, Phương trình cấp 1; Mở đầu về phương trình cấp hai. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 1 - Dư Đức Thắng KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC BỘ MÔN GIẢI TÍCH ——————— Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng (MAT 2036) Dư Đức Thắng Hà Nội, ngày 16 tháng 4 năm 2020 Mục lục Chương 1 Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng. Phương trình cấp 1 1 1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Các phương trình không tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. Các bài toán trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 6 1.3. Phương trình cấp 1. Phương pháp đường đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1. Các phương trình hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Phương pháp đường đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3. Bài toán Cauchy của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . 12 1.3.4. Phương trình tuyến tính với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.5. Ý nghĩa vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.6. Phương trình tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Tóm tắt lí thuyết và Bài tập: Phương trình cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.1. Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.2. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2 Mở đầu về phương trình cấp hai 29 2.1. Phân loại phương trình cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1. Trường hợp ẩn hàm là hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Trường hợp nhiều hơn hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Một số ví dụ cho các ứng dụng thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Phương trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng . . . . . . 41 2.2.3. Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Tính đặt chỉnh của bài toán phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 44 2.3.1. Bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh. Phản ví dụ của Hadamard . 44 2.3.2. Định lí Cauchy-Kovalevskaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4. Bài tập: Phân loại phương trình cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 i ii Chương 3 Bài toán dây rung 51 3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1. Công thức d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2. Xác định nghiệm bằng phương pháp trực tiếp . . . . . . . . . . . . 55 3.3.3. Tính ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4. Bài toán dây rung trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5. Bài toán dây rung với hai đầu cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6. Trường hợp ngoại lực khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7. Giải bài toán biên-ban đầu với vế phải khác không . . . . . . . . . . . . . . 61 3.8. Ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.9. Một số chủ đề mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.9.1. Nghiệm cơ bản của phương trình truyền sóng 1 chiều . . . . . . . . 64 3.9.2. Một số chủ đề liên quan tới phương trình truyền sóng . . . . . . . . 64 3.10. Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Chương 4 Bài toán truyền nhiệt 1 chiều. Phương trình parabolic 69 4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.1. Thiết lập các điều kiện Cauchy và các điều kiện biên . . . . . . . . 69 4.1.2. Nguyên lí cực đại cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.3. Ứng dụng của nguyên lí cực đại cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Bài toán biên ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3.1. Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3.2. Trường hợp không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.3. Trường hợp tổng quát. Nguyên lí Duhamel . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4. Ý nghĩa vật lí và một số gợi ý nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.1. Ý nghĩa vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2. Một số ...