Bài giảng phương trình vi phân - ĐH Đà Lạt

Chẳng hạn, trong cì học cổ điển (định luật Newton), trong thiên van học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sựphát triển của dân số), trong điện tử... Trong hầu hết các linh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các ph÷ìng trình này (cả về định tính...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng phương trình vi phân - ĐH Đà Lạt TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC TRÒNH ÑÖÙC TAØIPHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008Mục lục1 Phương trình vi phân thường cấp I 2 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Vài mô hình đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 11 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Phương trình với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 Phương trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.7 Phương trình Riccati ....................... 22 1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm . . . . . . . . 23 1.4.1 Tích phân một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 23 1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.3 Tham số hoá tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iiMỤC LỤC 1.6.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . 322 Phương trình vi phân cấp cao 35 2.1 Phương trình vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương 37 2.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp . . . . . . . 39 2.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. . . . 43 2.2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . 44 2.2.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 50 2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . 53 2.3.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: . . . . . 563 Hệ phương trình vi phân 60 3.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao. 61 3.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 63 3.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Hệ tuyến tính không thuần nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Sự ổn định nghiệm của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1MỤC LỤC 3.5.1 Sơ lược về bài toán ổn định . . . . ...