Bài giảng Thống kê toán

Tài liệu tham khảo về Lý thuyết xác suất và Thống kê toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Thống kê toán LÝ thuyÕt x¸c suÊt1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn1. Kh«ng gian x¸c suÊtTr−íc hÕt chóng ta ®−a v o kh¸i niÖm mét hä A c¸c tËp con n o ®ã cña kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬b¶n ®−îc gäi l σ -®¹i sè nÕu: 1. ∈A 2. A ∈ A suy ra A ∈ A 3. NÕu A1 , A2 , ... l d y c¸c tËp hîp thuéc A, khi ®ã Ai còng thuéc A. iTrong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn l mét σ -®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A v o tËp c¸c sè thùcR P :A→Rtho¶ m n c¸c tiªn ®Ò sau: 1. Víi mäi A ∈ A 0 P (A) 1 2. P( ) = 1 3. NÕu A1 , A2 , ..., Ai , ... l c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã P Ai = P (Ai ) i iP (A) ®−îc gäi l x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ( , A, P ) ®−îc gäi l kh«nggian x¸c suÊt.TÝnh chÊt cña x¸c suÊt (A) P (∅) = 0. (B) P (B ). A ⊂ B ⇒ P (A) (C) P (A) = 1 − P (A). (D) P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ). (E) P (A + B + C ) = P (A) + P (B ) + P (C ) − P (BC ) − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC ). (F) P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ). P (A1 + A2 + ... + An ) (G) Víi d y c¸c biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã lim P (An ) = P ( lim An ). n→∞ n→∞2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn Kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng = {ω1 , ω2 , ..., ωn }, P (ω1 ) = P (ω2 ) = ... = P (ωn ) 1Khi ®ã do P ( ) = 1, suy ra P (ωi ) = víi mäi i v nÕu n m A = {ωn1 , ωn2 , ..., ωnm } ⇒ P (A) = . n http://www.ebook.edu.vn 1Ta cßn nãi Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A P (A) = . Sè tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng Tr−êng hîp kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n l mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®ÓbiÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã ®é ®o cña A P (A) = . ®é ®o cña(§é ®o ë ®©y ®−îc hiÓu nh− l ®é d i, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo ®−îc nh¾c ®Õn l miÒn h×nh häc n o).B i tËp 1 1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak l biÕn cè: lÇn gieo thø k l lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.a. H y tÝnh P (Ak ).b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo n o ®ã.c. H y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th−ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cãth−ëng.3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 m utrong sè 6 viªn bi ®−îc chän ra.4. Chøng minh r»ng N −n+1 CN−1 n n CN = (n N) −k k =15. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1 . T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b−íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè. 26. B i to¸n gÆp gì v b i to¸n gieo kim cña Buffon.3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn v sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu ...