Bài giảng Tích phân bội và giải tích vectơ

Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ dành cho sinh viên ngành toán ở trường Đại học. Nội dung bài giảng tương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J..Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính xác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi, bài giảng hướng tới trình độ ở các phần tương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tích phân bội và giải tích vectơBài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơHuỳnh Quang Vũy3210-3-2-10x1232Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viênngành toán ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung bài giảngtương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J.Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chínhxác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phầntương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển như [Rud76], [Lan97].Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình nàyvẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa.Để làm một số bài tập cần dùng một phần mềm máy tính chẳng hạn như Matlab hay Maxima.• Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima• Hướng dẫn sử dụng phần mềm MatlabHuỳnh Quang VũĐịa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ ChíMinh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email: hqvu@hcmus.edu.vnTài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu//gt3.pdf. Mã nguồn LaTeX có ởhttp://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.tar.gz.This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, seehttp://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the CreativeCommons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.Mục lục12Tích phân bội1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Sự khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . .1.4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . .1.7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân LebesgueGiải tích vectơ2.1 Tích phân đường . . . . . . . .2.2 Công thức Newton–Leibniz . . .2.3 Công thức Green . . . . . . . .2.4 Tích phân mặt . . . . . . . . .2.5 Công thức Stokes . . . . . . . .2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ2.8 * Công thức Stokes tổng quát .........................3.................................................................................................................................................................................................................................................................................55111823314450........53536269778691971004MỤC LỤCChương 1Tích phân bộiTrong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều.1.1Tích phân trên hình hộpTích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đócác ý chính đã quen thuộc và không khó, người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễtheo dõi hơn.Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hình hộp I. Tachia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏhơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ f bằng một hàm hằng. Ta hy vọngrằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúngcủa tổng giá trị của f .Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốn tìm “thểtích” của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng nhữnghình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trị của f trong hình hộp conđó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơn giá trị đúng của thể tích.Hình hộp và thể tích của hình hộpDưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên.Trong môn học này khi nói đến không gian Rn , n ∈ Z+ , thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn,khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, . . ., xn ) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) củax làk xk = (x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2,khoảng cách giữa x và y = (y1, y2, . . ., yn ) ∈ Rn là 1/2k x − yk = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2,5 ...