Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier. Trong bài này tập trung trình bày những nội dung chính sau: Chuỗi Fourier, điều kiện tồn tại chuỗi Fourier, các tính chất của chuỗi Fourier, chuỗi Fourier và hệ thống LTI. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier Lecture-6 3.3. Chuỗi Fourier và tính chất 3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất 3.3.1. Chuỗi Fourier 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1 3.3.1. Chuỗi Fourier 2π { }
Xét tập tín hiệu: e jnω0 t ; n=0, ±1, ±2,.... và T0 = ω0 t1 + T0 t1 +T0 Ta có: (e jnω0t , e jmω0t )= ∫ e jnω0 t e− jmω0t dt = ∫ e j(n −m)ω0t dt t1 t1 1 t1 + T0 1 = e j(n −m)ω0t = e j(n −m)ω0t1 [e j(n −m)ω0T0 − 1] =0 j(n − m)ω0 t1 j(n − m)ω0 t1 + T0 Và: (e 0 , e 0 )= ∫ jnω t jnω t e jnω0 t e − jnω0 t dt = T0 = E n t1 Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao.
Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t) trong khoảng t13.3.1. Chuỗi Fourier
Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ 1 1 T1 2T 1 D0 = ∫ T -T1 dt = 1 = T 3 1 T1 1 T1 1 D n = ∫ e − jnω0 t dt = e − jnω0t = (e − jnω0T1 − e jnω0T1 ) T 1 -T − jnω0 T − T1 − j2nπ 1 1  nπ  1  nπ  = sin(nω0 T1 ) = sin   = sinc   nπ nπ  3  3  3  ∞ 1  nπ  jnω0 t f(t)= ∑ sinc  e n= −∞ 3  3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1. Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực ∞ ∞ ∞ f(t)=f * (t) f(t)= ∑ D n e jnω0 t = ∑De * − jnω0 t n = ∑D * −n e jnω0t n= −∞ n= −∞ n= −∞ ∗ * Dn = D −n D = D− n n chuỗi Fourier được viết lại như sau: ∞ ∞ f(t)=D0 + ∑ (D n e jnω0 t + D− n e − jnω0 t ) =D 0 + ∑ (D n e jnω0 t + D*n e− jnω0 t ) n=1 n=1 ∞ f(t)=C0 + ∑ Cn cos(nω0 t+θ n ) n=1 C0 =D0 ; Cn =2|D n |; θ n = ∠D n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3 3.3.1. Chuỗi Fourier
Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ) tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và phổ pha. ∞ 1  nπ  jnω0 t Xét ví dụ trước: f(t)= ∑ 3 sinc  n= −∞ 3 e  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dn hữu hạn & năng lượng sai số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng
Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại điểm gián đoạn  Điều kiện 1: ∫ |f(t)|dt3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier  Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ Ex: f(t)=sin(2π /t); 03.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Tính tuyến tính: f1 ...