Bài giảng Toán A2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 trình bày những kiên thức về hệ phương trình tuyến tính. Nội dung chính trong chương này gồm có: Các khái niệm chung, phương pháp Gauss, hệ thuần nhất, hệ Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán A2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10 Nội dung 1 Các khái niệm chung 2 Phương pháp Gauss 3 Hệ thuần nhất 4 Hệ CramerHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:  a x + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  11 1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2   ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm  Trong đó: xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự doHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 2 / 10 Đặt:      a11 a12 · · · a1n x1 b1 , X = x.2 , B = b2   a21 a22 · · · a2n     A = ··· ··· ··· ···   ..  ..   .  am1 am2 · · · amn xn bm Thì hệ được viết lại: AX = B. Ta gọi: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng Một nghiệm là 1 vector (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn mà khi thay x1 = c1 , . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 3 / 10 Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm. Ví dụ: Giải các hệ sau    −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4 x1 + x2 + x4 = 2    1) −x1 + x2 + 4x3 = −1 −x1 − 2x3 = −2      − x2 − 2x3 + x4 = 4    x1 + 2x2 − x3 = −2 −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2  2)   −x1 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 4 / 10   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 3) 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 2x1 + 7x2 − x3 = −1  Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có: Nếu r(A) < r A thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r A = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r A < n thì hệ vô số nghiệmHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 5 / 10    3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18  2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13   4) −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11 2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13      −x − 2x3 + 3x4 = 8 1 Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất ⇔ r (A) = n ⇔ det(A) 6= 0.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 6 / 10 Hệ thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau: 1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm thường ⇔ r (A) = số ẩn 2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r (A) < số ẩnHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 7 / 10 Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Nếu A ∈ Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r (A) < n ⇔ det(A) = 0. Ví dụ ...