Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Vecto n chiều; sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ vecto, cơ sở của không gian R. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - TS. Trịnh Thị HườngKHÔNG GIAN VÉCTƠGiảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNGBộ môn : ToánEmail: trinhthihuong@tmu.edu.vn1. Các khái niệmĐịnh nghĩa: Một bộ n số thực ?? , ? = 1, ? được sắp xếp theo thứ tự ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) Được gọi là một véctơ n chiều. ?? được gọi là thành phần thứ i của vectơ X.● Véctơ không n chiều 0 =(0, 0, …, 0)● Véctơ đối của véctơ X là −? = (−?1 , −?2 , … , − ?? ).●Hai véc tơ n chiều ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) và? = (?1 , ?2 , … , ?? ) bằng nhau nếu: ?? = ?? , ∀? = 1, ?Cho hai véctơ: ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) và ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) • Phép cộng: ? + ? = (?1 + ?1 , … , ?? + ?? ) • Phép trừ: ? − ? = (?1 − ?1 , … , ?? − ?? ) • Nhân véctơ với một số thực: ?? = (??1 , ??2 , … , ??? ). Định nghĩa:Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trong đó xácđịnh phép cộng hai véctơ và phép nhân véctơvới một số, thỏa mãn các tính chất cơ bản đượcgọi là không gian véctơ – n chiều. ? Ký hiệu: ℝ1. Khái niệm1.1. Tổ hợp tuyến tính của 1 hệ m véctơ n chiều. Cho m véctơ n chiều: ?1 , ?2 , … , ?? . Một tổng có dạng: ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? ?? ∈ ℝ Được gọi là một tổ hợp tuyến tính của m véctơ đã cho.1.2. Định nghĩa:Hệ m véctơ n chiều {?1 , ?2 , … , ?? } được gọilà phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thựckhông đồng thời bằng 0 ?à ?1 , ?2 , … , ?? saocho ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? = 0. Nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra khi ?1 = ?2 = ⋯ = ?? = 0 thì hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính.2. Một số dấu hiệu nhận biết sự ĐLTT, PTTT 2.1. Hệ gồm một véctơ ĐLTT ⇔ véctơ đó khác 0. 2.2. Hệ gồm 2 véctơ ĐLTT ⇔ chúng không tỷ lệ Hệ gồm 2 véctơ PTTT ⇔ chúng tỷ lệ 2.3. Một hệ chứa véctơ 0 là PTTT. 2.4.Một hệ có số véctơ nhiều hơn số chiều là PTTT.2.5. Một hệ véctơ là PTTT ⇔ có một véctơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Trong hệ m véctơ, ta lấy ra r véctơ (? ≤ ? ) thì r véctơ này gọi là một hệ con của hệ m véctơ trên.2.6. Một hệ chứa một hệ PTTT là PTTT.2.7. Một hệ véctơ con của một hệ ĐLTT là ĐLTT.Nhận xét:Hệ n véctơ n chiều ĐLTT⇔ địnhthức của ma trận tạo thành từ n véctơ đó khác 0 (tức là sắp xếp mỗivéctơ thành 1 cột của định thức).Ví dụ 2:Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộctuyến tính theo tham số a ?1 = (1,2, −1, −2?) ?2 = (2,4, ?, 1) ?3 = (1,2,1,1, ) ?4 = (−2, −3, ?, 1) BÀI 3: HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉC TƠ, CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN ? ℝ1. Cơ sở và hạng của hệ véctơ Xét hệ m véc tơ n chiều: {?1 , ?2 , … , ?? }Định nghĩa 1: Cho hệ m véctơ n chiều. • Nếu hệ m véctơ ĐLTT thì ta nói hệ m véctơ là ĐLTT cực đại. • Một hệ con gồm k véctơ (? < ?) được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và nếu thêm vào hệ đó một véctơ bất kỳ trong số các véctơ còn lại thì hệ con trở thành PTTT.Ví dụ 2: Cho 3 véctơ ?1 = (1,2,3,0,4) ?2 = (−1, 3,4,1,2) ?3 = (0,5,7,1,6) Tìm hệ véc tơ con độc lập tuyến tính cực đạiĐịnh nghĩa 2:Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của 1 hệvéctơ gọi là 1 cơ sở của hệ véctơđó.Mỗi một hệ véctơ có thể có nhiềucơ sở, nhưng số véctơ của mỗi cơsở đều là như nhau, số đó gọi làhạng của hệ véctơ đó. Kí hiệu: ?{?1 , ?2 , … , ?? }Ví dụ 3: Hạng của hệ véctơ ở VD2 bằng 2.Định nghĩa 3: ? Trong không gian ℝ , mỗi hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi là một ? cơ sở của không gian ℝ .Ví dụ 3: Trong ℝ? , n véctơ đơn vị: ?1 = 1, 0, … , 0 ?2 = 0, 1, … , 0 …. ?? = 0, 0, … 0, 1 Lập thành cơ sở của ℝ? , gọi là cơ sở chính tắc. 2. Biểu diễn một véctơ theo cơ sởĐịnh lý: Mỗi véctơ của hệ có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở của hệ.Định nghĩa: Cho {?1 , ?2 , … , ?? } là một cơ sở ? của KGVT ℝ . Khi đó, mọi véctơ n chiều X thì X có biểu diễn duy nhất: ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? Bộ n số ?1 , ?2 , … , ?? gọi là tọa độ của véctơ X trong không gian cơ sở {?1 , ?2 , … , ?? }.Ví dụ 1: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua các véctơ ?1 = (1,2,3) ?2 = (−1, 3,4) ...