Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: véc tơ n – chiều; phép toán trên véctơ; không gian véctơ; sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ véctơ cơ sở của không gian ℝn;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơChương 2VÉC TƠ BÀI 1: VÉC TƠ N – CHIỀU1. Các khái niệm Định nghĩa: Một véc tơ n chiều X là một bộ n số thực ?? được sắp xếp theo thứ tự ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) ?? được gọi là thành phần thứ i của vectơ X. Véctơ không n chiều 0 =(0, 0, …, 0). Véctơ đối của véctơ X là −? = (−?1 , −?2 , … , − ?? ). Hai véctơ n chiều ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) và ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) bằng nhau nếu: ?? = ?? , ∀? = 1, ?2. Phép toán trên véctơ Cho hai véctơ ? = (?1 , ?2 , … , ?? ) và ? = (?1 , ?2 , … , ?? )  Phép cộng: ? + ? = (?1 + ?1 , ?2 + ?2 , … , ?? + ?? )  Phép trừ: ? − ? = (?1 − ?1 , ?2 − ?2 , … , ?? − ?? )  Nhân véctơ với một số thực: ?? = (??1 , ??2 , … , ??? ).3. Không gian véctơĐịnh nghĩa: Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trongđó xác định phép cộng hai véctơ và phép nhân véctơvới một số thỏa mãn các tính chất cơ bản được gọi làkhông gian véctơ – n chiều. Ký hiệu: ℝ?Ví dụ 1:  Đường thẳng là không gian véctơ 1 chiều ℝ1 .  Tập các điểm trong mặt phẳng là không gian véctơ 2 chiều ℝ2 .  Tập các điểm trong không gian là không gian véctơ 3 chiều ℝ3 .BÀI 2: SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, SỰ PHỤTHUỘC TUYẾN TÍNH.1. Tổ hợp tuyến tính của 1 hệ m véctơ n chiều.Cho m véctơ n chiều: ?1 , ?2 , … , ?? .Một tổng có dạng: ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? , ?? ∈ ℝĐược gọi là một tổ hợp tuyến tính của m véctơđã cho. 2. Sự ĐLTT, PTTT của 1 hệ véc tơa. Định nghĩa: Hệ m véctơ n chiều {?1 , ?2 , … , ?? } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực ?1 , ?2 , … , ?? không đồng thời bằng 0 sao cho ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? = 0. (*) Ngược lại nếu đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi ?1 = ?2 = ⋯ = ?? = 0 thì hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính.b. Ví dụ 2: Cho ba véctơ: ?1 = 2, 3 ?2 = 1, 2 ?3 = 4, 7Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộctuyến tính của hệ véctơ:a) {?1 , ?2 }b) {?1 , ?2 , ?3 }c. Dấu hiệu nhận biết- Hệ gồm 1 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi véc tơ đó kháckhông.- Hệ gồm 2 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi 2 véc tơ đókhông tỉ lệ- Hệ chứa véc tơ không là hệ PTTT- Một hệ chứa hai véc tơ tỉ lệ là PTTT- Một hệ là PTTT khi và chỉ khi có 1 véc tơ của hệ làtổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại.- Hệ có số véc tơ lớn hơn số chiều là PTTT BÀI 3: HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉCTƠ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN ℝ?1.Cơ sở và hạng của hệ véctơ Xét hệ m véctơ n chiều: {?1 , ?2 , … , ?? }Định nghĩa 1: Một hệ con gồm k véctơ (k ≤ m) được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và nếu thêm vào hệ đó một véctơ bất kỳ trong số các véctơ còn lại thì hệ con trở thành PTTT.Định nghĩa 2: Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của 1 hệ véctơ gọi là 1 cơ sở của hệ véctơ đó. Mỗi một hệ véctơ có thể có nhiều cơ sở, nhưng số véctơ của mỗi cơ sở đều là như nhau, số đó gọi là hạng của hệ véctơ. Kí hiệu: r{X1 , X2 , … , Xm }Ví dụ 3: Cho 3 véctơ ?1 = (1,2,3,0,4) ?2 = (−1, 3,4,1,2) ?3 = (0,5,7,1,6) Tìm cơ sở và hạng của hệ véc tơ.Định nghĩa 3: Trong không gian ℝn , mỗi hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của không gian ℝn . Ví dụ 4: Trong ℝ? , n véctơ đơn vị: ?1 = 1, 0, … , 0 ?2 = 0, 1, … , 0 …. ?? = 0, 0, … 0, 1 Lập thành cơ sở của ℝ? , gọi là cơ sở chính tắc.2. Biểu diễn một véctơ theo cơ sở Định lý: Mỗi véctơ của hệ có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở của hệ.Ví dụ 5: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua các véctơ ?1 = (1,2,3) ?2 = (−1, 3,4) 3. Liên hệ giữa hạng của hệ véc tơ và hạng của ma trận.Định lí: Hạng của hệ m véc tơ n chiều bằng hạng của matrận cỡ ? × ? tạo thành bằng cách xếp liên tiếp các véctơ theo cột.4. Liên hệ giữa hạng của hệ véctơ và tính ĐLTT,PTTT.Định lý:Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } ĐLTT⇔ r X1 , X2 , … , Xm = m.Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } PTTT⇔ r X1 , X2 , … , Xm < ?.Ví dụ 6: Cho hệ véctơ: ?1 = (1,2,3) ?2 = (0, −1, −2) ?3 = (3,5,7) ?4 = (0,3,1) a. Tìm ? ?1 , ?2 , ?3 ? Hệ ?1 , ?2 , ?3 là ĐLTT hay PTTT? b. Tìm ? ?1 , ?2 , ?3 , ?45. Cách tìm cơ sở của hệ véctơ bằng biến đổi sơ cấp Cho hệ m véctơ n – chiều  Xếp m véctơ thành m cột của ma trận A  Biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận đưa ma trận về dạng đặc biệt là tam giác hoặc hình thang.  Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0, cơ ...