Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; phép biến đổi tuyến tính; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương; các dạng bài tập chính;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương Chương 4DẠNG TOÀN PHƢƠNG1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.1. Các khái niệmĐịnh nghĩa 1: Một tổng có dạng ? ? ?1 , ?2 , … , ?? = ??? ?? ?? (1) ?,? =1 Trong đó ??? = ??? , ∀?, ? = 1, ?, ??? ∈ ?, gọi là một dạng toàn phương của các biến ?1 , ?2 , … , ?? .Ma trận của dạng toàn phương (1) là ?11 ⋯ ?1? ? = ??? = ⋮ ⋱ ⋮ ??1 ⋯ ???Nhận xét: • ? = ?′. • Thông thường DTP được cho dướidạng ? ?1 , ?2 , … , ?? = ??? ?? ?? ?≤?Khi đó các phần tử của ma trận ? được xác ? ị?định bởi ??? = ??? và ??? = ??? = 2Ví dụ 1: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:a) ? ?1 , ?2 = ?12 + 6?1 ?2 + 3?22b) ? ?1 , ?2 , ?3 = −?12 + 2?1 ?2 + ?2 ?3 + ?22 + 3?32Định nghĩa 2:  Hạng của DTP:Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận của dạng toàn phương đó.  Dạng toàn phương được gọi là suy biến nếu hay .  Dạng toàn phương được gọi là không suy biến nếu ? ? =? hay 1.2. Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc.  Dạng toàn phương chính tắc:Dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương códạng ? ? ?1 , ?2 , … , ?? = ?? ??2 (2) ?=1  Dạng toàn phương chuẩn tắc: Dạng toàn phương chính tắc được gọi là dạng toàn phương chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trịVí dụ 2:? ?1 , ?2 , ?3 = ?12 − 8?22 + ?32 là dạng toànphương chính tắc. 1 0 0Ma trận: ? = 0 −8 0 0 0 1? ?1 , ?2 , ?3 = ?12 − ?22 là dạng toàn phươngchuẩn tắc. 1 0 0Ma trận: ? = 0 −1 0 0 0 01.3. Phép biến đổi tuyến tínhĐặt , suy ra .Khi đó, (1) trở thànhĐịnh nghĩa 3: Cho ma trận .Phép biến đổi tuyến tính không suy biến từ biến Xsang biến Y là:Khi đó, dạng toàn phương (3) trở thành: ? ? = ? ′ ??, ? = ?′??Ví dụ 3: DTP chính tắc? ?1 , ?2 , … , ?? = ??=1 ?? ??2có thể đưa về DTP chuẩn tắc bằng phép đặt ?1 = ?1 ?1 ?2 = |?2 |?2 ………. ?? = |?? | ??2. ĐƢA DTP VỀ DTP CHÍNH TẮC,CHUẨN TẮC. 1. Phương pháp giá trị riêng Phương pháp 2. Phương pháp Jacobi 3. Phương pháp Lagrange2.1. Phương pháp giá trị riêngXét dạng toàn phương (1)Định thức gọi là phươngtrình đặc trưng (ẩn k) của (1)Định lý: Giả sử là các nghiệmcủa phương trình đặc trưng của dạng toànphương (1) (kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội).Khi đó, dạng toàn phương chính tắc của (1)làVí dụ 4: Tìm các giá trị riêng và đưa dạng toànphương sau về dạng toàn phương chính tắc? ?1 , ?2 , ?3 , ?4 = 3?12 + ?32 + 2?2 ?3 + 4?3 ?42.2. Phương pháp Jacobi Cho ma trận ??? ?×? Các định thức con chính đầu của A là Định lý Jacobi: Nếu ma trận của một DTP có Di  0i  1,2,...n thì DTP chính tắc của nó là Định lý Jacobi mở rộng: Nếu r(A)=k và D1, D2 ,...Dk  0, Dk 1  Dk 2  ...  Dn  0 thì dạng toàn phương chính tắc của nó là ? ?1 , ?2 , … , ?? 2 ?2 2 D3 2 D? 2 = ?1 ?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?? ?1 D2 D?−1Ví dụ 5: Đưa DTP sau về DTP chính tắc D1  1, D2  3, D3  8 D1  1, D2  1, D3  0Định luật quán tính Số các hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phương chính tắc nhận được là không đổi khi ta đưa một DTP về DTP chính tắc bằng các phương pháp khác nhau.2.3. Phương pháp Lagrangea) Trường hợp ??? ≠ ?. Giả sử ??? ≠ ? ? ? ?1 , ?2 , … , ?? = ??? ?? ?? ?,? =1 ? ??1= ?11 ?12 + 2?1 ?? + những số hạng không chứa ?1 ?11 ?=2 ? 2 ??1= ?11 ?1 + ?? + ?(?2 , ?3 , … , ?? ) ?11 ?=2 Đặt ? ??1 ?1 = ?1 + ?? ?11 ?=2 ?2 = ?2 ………. ?? = ??Khi đó ? ?1 , ?2 , … , ?? = ?(?1 , ?2 , … , ?? ) ...