Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục Chương 5HÀM SỐ,GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC1. Hàm số1.1. Định nghĩaCho tập ? ⊂ ℝ, một hàm ? từ ? vào ℝ là một qui tắc đặt tương ứng mỗi giá trị của ? ∈ ? với duy nhất một giá trị ? ∈ ℝ theo đẳng thức: ? = ?(?). • D: tập xác định của ?. • ? ? = {? ? : ? ∈ ?}: Tập giá trị của hàm số • Tập các cặp điểm {(?, ? ? ): ? ∈ ?} trên hệ tọa độ Oxy gọi là đồ thị của hàm số.1.2. Các phép tính trên hàm sốa. Cộng, trừ, nhân, chiab. Hàm hợp Cho hàm ? = ?(?) với TXĐ là ? và TGT ?. Hàm số ? = ?(?) với TXĐ là ?1 và TGT là ? Nếu ? ⊂ ?1 thì ta có thể xác định hàm số từ ? vào ? như sau ? = ? ? ? ≔ ?(?) Hàm số này gọi là hàm số hợp của ? và ?. Kí hiệu ? = ? ∘ ?Ví dụ 1:Cho ?(?) = ? 3 − 2? + 4, ?(?) = tan ? thì tacó hàm số hợp ? ? = ? ∘ ? = ? ? ? = tan(? 3 − 2? + 4)c. Hàm ngược Cho hàm số ? = ?(?) với TXĐ là ? và tập giá trị là ?. Nếu phương trình ? = ? ? có nghiệm duy nhất ? ∈ ? thì ta có thể xác định hàm số ? = ? ? ,? ∈ ? Thỏa mãn ? ? ? = ?, ∀? ∈ ?, hàm g xác định như trên gọi là hàm số ngược của hàm ?, ký hiệu ? = ? −1 .Ví dụ 2: Tìm hàm ngược của hàm số ? = ? 2 , với ? ∈ [−4,0].1.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa: ? = ? ? (? − ?ằ?? ?ố) b. Hàm mũ: ? = ? ? , (0 < ? ≠ 1) c. Hàm lôgarit: ? = log ? ? , (0 < ? ≠ 1) d. Các hàm lượng giác sin ?; cos ?; tan ?; cot ? e. Các hàm lượng giác ngược:1) Hàm ? = ?????? ? ? = sin ? ? = arcsin ? ⇔ −? ? ≤?≤ 2 2 ? tính theo đơn vị rad.Ví dụ ? -1 3 2 −1 0 1 2 3 1 − − 2 2 2 2 2 2 arcsin ? − ? − ? − ? − ? 0 ? ? ? ? 2 3 4 6 6 4 3 2 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arcsin ? đồng biến trên [-1; 1] −? ?  Tập giá trị [ ; ] 2 22) Hàm ? = ?????? ? ? = cos ? ? = arccos ? ⇔ 0 ≤ ? ≤ ? ? tính theo đơn vị rad. Ví dụ: ? -1 3 2 −1 0 1 2 31 − − 2 2 2 2 2 2 arccos ? ? 5? 3? 2? ? ? ? ? 0 6 4 3 2 3 4 6 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arccos ? nghịch biến trên [-1; 1]  Tập giá trị [0 ; ?]3) Hàm ? = ?????? ? ? = tan ? ? = arctan ? ⇔ −? ? 4) Hàm ? = ?????? ? ? = cot ? ? = arccot ? ⇔ 01.4. Hàm sơ cấp Định nghĩa: Hàm ? = ?(?) được gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu f(x) được cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm. Ví dụ 3: a. Hàm số ? = sin ? 2 − 5? + 7 + cos ? là hàm sơ cấp. b. Hàm số ? = ln ? + 1 . cos ? + ? 2 + 1 là hàm sơ cấp ? ?ế? ? > 0Ví dụ 4: Hàm số ? = |? | = 0 ?ế? ? = 0 −? ?ế? ? < 0không phải là hàm sơ cấp trên R.Nhưng trên khoảng −∞; 0 , hàm số ? = −? là hàmsơ cấp.Trên khoảng 0; ∞ , hàm số ? = ? là hàm sơ cấp.2. Giới hạn hàm một biến2.1. Định nghĩaCho hàm số ?(?) xác định tại một lân cận của ?0 ,(hàm số ?(?) có thể không xác định tại ?0 ). Ta nóihàm số ?(?) dần tới số thực L nếu ∀? > 0, ∃? > 0: 0 < |? − ?0 | < ? ??ì |? ? − ?| < ? Kí hiệu: lim?→? 0 ? ? = ?. sin xVí dụ 1: Tìm giới hạn lim x 0 x x -0.2 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.2 f(x) 0.993 0.998 0.9995 0.9995 0.998 0.993Khi x rất gần 0, f(x) tiến dần đến giá trị 1 2.1. 1. Giới hạn 1 phía Giới hạn trái tại ?0 : ? ?0− = lim− ? ? = ?→? lim ? ? ?→? 0 0 ?? 0Đ ịnh l ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số ?(?) cógiới hạn khi ? → ?0 là nó có giới hạn phải và giớihạn trái tại ?0 và hai giới hạn đó bằng nhau. lim− ? ? = lim+ ? ? = lim ? ? ?→? 0 ?→? 0 ?→? 0Ví dụ 2: Xét hàmf(x)=|x| lim f ( x)  0 x 0 lim f ( x)  0 x 0 lim f ( x)  0 x 0Ví dụ 3: Xét hàmf(x)=|x|/x lim f ( x)  1 x 0 lim f ( x)  1 x 0 không tồn tại lim f ( x) x0Ví dụ 4: Xét các giới hạn của hàm số sau ?2 − 3 khi ? ≥ 1 ? ? = ? ...