Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa; các qui tắc tính đạo hàm; bảng công thức tính đạo hàm cơ bản; đạo hàm 1 phía;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến Chương 6ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN1. Đạo hàma. Định nghĩaGiả sử hàm số ?(?) xác định trên 1 lân cận của? (kể cả ?), với ∆? đủ bé về trị tuyệt đối ta xétgiới hạn sau: ? ? + ∆? − ?(?) lim ∆?→0 ∆?- Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn ta nói hàm số có đạo hàm hay khả vi tại ?. Đạo hàm được kí hiệu là ? ′ (?).- Nếu giới hạn trên vô hạn thì ta nói hàm số có đạo hàm bằng ∞ tại ? nhưng không khả vi tại ?. Ví dụ: Tìm đạo hàm tại 0 của hàmsố. (1 + ? 2 ) ln⁡ ? ? = ?ớ? ? ≠ 0 ? 0 ?ớ? ? = 0 b. Các qui tắc tính đạo hàm. c. Bảng công thức tính đạo hàm cơ bản.d. Đạo hàm 1 phía - Đạo hàm phải ? ? 0 +∆? −?(? 0 ) ? ′ ?0+ = lim∆?→0+ ∆? - Đạo hàm trái ? ?0 + ∆? − ?(?0 ) ? ′ ?0− = lim− ∆?→0 ∆?Định lí: Điều kiện cần và đủ để hàm ?(?)có đạo hàm hữu hạn (hay khả vi) tại điểm?0 là tồn tại đạo hàm phải hữu hạn và đạohàm trái hữu hạn của ?(?) tại ?0 vàchúng bằng nhau, tức là: ? ′ ?0+ = ? ′ ?0− . Khi đó: ? ′ ?0 = ?′ ?+ 0 = ?′ ? − 0 .1. Các khái niệm1.1. Định nghĩaCho tập ? ⊂ ℝ, một hàm ? từ ? vào ℝ là một qui tắc đặt tương ứng mỗi giá trị của ? ∈ ? với duy nhất một giá trị ? ∈ ℝ theo đẳng thức: ? = ?(?).• D: tập xác định của ?.• ? ? = {? ? : ? ∈ ?}: Tập giá trị của hàm số• Tập các cặp điểm {(?, ? ? ): ? ∈ ?} trên hệ tọa độ Oxygọi là đồ thị của hàm số.1.2. Các phép tính trên hàm sốa. Cộng, trừ, nhân, chiab. Hàm hợp Cho hàm ? = ?(?) với TXĐ là ? và TGT ?. Hàm số ? = ?(?) với TXĐ là ?1 và TGT là ? Nếu ? ⊂ ?1 thì ta có thể xác định hàm số từ ? vào ? như sau ? = ? ? ? ≔ ?(?) Hàm số này gọi là hàm số hợp của ? và ?. Kí hiệu ? = ? ∘ ?Ví dụ 1:Cho ?(?) = ? 3 − 2? + 4, ?(?) = tan ? thì tacó hàm số hợp ? ? = ? ∘ ? = ? ? ? = tan(? 3 − 2? + 4)c. Hàm ngược Cho hàm số ? = ?(?) với TXĐ là ? và tập giá trị là ?. Nếu phương trình ? = ? ? có nghiệm duy nhất ? ∈ ? thì ta có thể xác định hàm số ? = ? ? ,? ∈ ? Thỏa mãn ? ? ? = ?, ∀? ∈ ?, hàm g xác định như trên gọi là hàm số ngược của hàm ?, ký hiệu ? = ? −1 .Lưu ý: - Ta thường coi ? là biến, ? là hàm số nên hàm số ngược của hàm ? = ?(?) là hàm số ? = ? ? . - Nếu vẽ trên cùng một hệ tọa độ thì hàm ? = ?(?) và hàm ngược ? = ? ? đối xứng qua đường phân giác y = x.1.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa: ? = ? ? (? − ?ằ?? ?ố) b. Hàm mũ: ? = ? ? , (0 < ? ≠ 1) c. Hàm lôgarit: ? = log ? ? , (0 < ? ≠ 1) d. Các hàm lượng giác sin ?; cos ?; tan ?; cot ? e. Các hàm lượng giác ngược:1) Hàm ? = ?????? ? ? = sin ? ? = arcsin ? ⇔ −? ? ≤?≤ 2 2 ? tính theo đơn vị rad.Ví dụ ? -1 3 2 −1 0 1 2 3 1 − − 2 2 2 2 2 2 arcsin ? − ? − ? − ? − ? 0 ? ? ? ? 2 3 4 6 6 4 3 2 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arcsin ? đồng biến trên [-1; 1] −? ?  Tập giá trị [ ; ] 2 22) Hàm ? = ?????? ? ? = cos ? ? = arccos ? ⇔ 0 ≤ ? ≤ ? ? tính theo đơn vị rad. Ví dụ: ? -1 3 2 −1 0 1 2 3 1 − − 2 2 2 2 2 2 arccos ? ? 5? 3? 2? 0 ? ? ? 0 6 4 3 3 4 6 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arccos ? nghịch biến trên [-1; 1]  Tập giá trị [0 ; ?]3) Hàm ? = ?????? ? ? = tan ? ? = arctan ? ⇔ −? ? 4) Hàm ? = ?????? ? ? = cot ? ? = arccot ? ⇔ 01.4. Hàm sơ cấp Định nghĩa: Hàm ? = ?(?) được gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu f(x) được cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm. Ví dụ 3: a. Hàm số ? = sin ? 2 − 5? + 7 + cos ? là hàm sơ cấp. b. Hàm số ? = ln ? + 1 . cos ? + ? 2 + 1 là hàm sơ cấp ? ?ế? ? > 0Ví dụ 4: Hàm số ? = |? | = 0 ?ế? ? = 0 −? ?ế? ? < 0không phải là hàm sơ cấp trên R.Nhưng trên khoảng −∞; 0 , hàm số ? = −? là hàmsơ cấp.Trên khoảng 0; ∞ , hàm s ...