Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tập xác định của hàm 2 biến; Đạo hàm riêng của hàm 2 biến; Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức; Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 7 HÀM HAI BIẾN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vnI. Hàm 2 biến1. Định nghĩa (SGT trang 168)Cho tập hợp ? ⊂ ℝ2 . Một hàm 2 biến xác định trênX là một quy tắc biến mỗi cặp (?, ?) ∈ ? thành mộtvà chỉ một giá trị ? ∈ ℝ. ?: ? → ℝ ?, ? ↦ ? = ?(?, ?)Ví dụ: ? ?, ? = ? + ?? − ? 2 + 5? 3 1 ?ế? ? = ? ? ?, ? = 0 ?ế? ? ≠ ?2. Tập xác định của hàm 2 biếnĐịnh nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao chohàm số có nghĩa.Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình họcTXĐ của hàm số sau ?+1 ? ?, ? = ln ?? + ?????? 2? + 3II. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến1. ĐHR cấp 1: Cho hàm f(x,y) xác định trong lân cận của điểm (x0, y0). ĐHR cấp 1 theo biến x tại điểm (x0,y0) (nếu có) được xác định như sau: ? ?0 + Δ?, ?0 − ?(?0 , ?? ) ??′ ? 0 , ?0 = lim Δ?→0 Δ? Tương tự, ĐHR cấp 1 theo biến y tại điểm (x0,y0) nếu có: ? ?0 , ?0 + Δ? − ?(?0 , ?? ) ??′ ?0 , ?0 = lim Δ?→0 Δ?Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đốivới hàm 1 biến. Tương tự, tính ĐHR theo y thì coix là hằng số.Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1? ?, ? = ? 2 + 4?? − 3? 4 + 2? − 3? + 12. ĐHR cấp 2: ′′ ′′ ??? = (??′ )′? ??? = (??′ )′? ′′ ′′ ??? = (??′ )′? ??? = (??′ )′? Chú ý: Trong chương trình học ′′ ′′ ??? ?, ? = ??? ?, ? ∀ ?, ? ∈ ?Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm sau? ?, ? = ? ? + ? 2 − 2?? 3 + 8III. Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức Bài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tại một điểm (x,y) nhưng không tính đúng được. Ta lại biết giá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y). Khi đó ta có công thức tính gần đúng sau: Định lý: Nếu Δ? = ? − ?0 , Δ? = ? − ?0 đủ bé thì ? ?0 + Δ?, ?0 + Δ? ≈ ? ?0 , ?0 + ??′ ?0 , ?0 . Δ? + ??′ ?0 , ?0 . Δ?IV. Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến 1. Định nghĩa cực trị tự do 2.1. Định nghĩa Ta nói hàm ?(?, ?) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm ?(?0 , ?0 ) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó ? ?0 , ?0 ≥ ?(?, ?). (tương ứng ? ?0 , ?0 ≤ ?(?, ?)). Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.2.2. Điều kiện cần của cực trịĐịnh lý:Nếu hàm ?(?, ?) đạt cực trị tại điểm?(?0 , ?0 ) và tại đó có các ĐHR thì ??′ ?0 , ?0 = 0 ??′ ?0 , ?0 = 0 Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn).2.3. Điều kiện đủ của cực trịĐịnh lý:Giả sử điểm ?(?0 , ?0 ) là một điểm dừng của hàm?(?, ?) và tại đó có các ĐHR cấp hai: ′′ ′′ ′′ ? = ??? ?0 , ?0 ; ? = ??? ?0 , ?0 ; ? = ??? ?0 , ?0  Nếu ?2 − ?? > 0 thì M không là cực trị.  Nếu ?2 − ?? < 0 thì M là cực trị  Nếu ? > 0 thì M là cực tiểu.  Nếu ? < 0 thì M là cực đại.  Nếu ?2 − ?? = 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị của MVí dụ: Tìm cực trị của hàm số sau: ?? ?? ? = ?? + + ? ?2. Cực trị có điều kiện2.1. Bài toán: Tìm cực trị của hàm số ? =? ?, ? với ràng buộc g ?, ? = 0. (1)Trường hợp 1: Điều kiện được cho bằng hàmtường, tức là từ g ?, ? = 0 suy ra ? = ℎ ? .Bài toán tìm cực trị tự do: ? = ? ?, ? = ? ?, ℎ ? .Trường hợp 2: Điều kiện được cho bằng hàm ẩn=> Phương pháp Lagrange2.2.Trường hợp 2: Điều kiện được cho bằnghàm ẩnPhương pháp LagrangeKí hiệu: Hàm Lagrange ? ?, ?, ? = ? ?, ? − ?? ?, ?(? gọi là nhân tử Lagrange)Định lí 1 (ĐK cần): Nếu ?0 ?? , ?0 là điểm cực trị của bàitoán (1) thì tồn tại số thực ?0 sao cho x0 , y0 , ?0 thỏa mãnhệ thứcChú ý: Mỗi nghiệm của hệ trên là 1 điểm dừngVí dụ sách giáo trình TMU ...