Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; cấp của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình đẳng cấp cấp 1; phương trình tuyến tính cấp 1; phương trình Becnuly; phương trình vi phân cấp 2;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phânHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƢƠNG 9 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂNĐẶT VẤN ĐỀ I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNĐịnh nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liênhệ giữa biến độc lập, hàm chưa biết và các đạo hàmhoặc vi phân của nó. Ví dụ2. CẤP CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt trong phương trình ấy. Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng Trong đó, không được khuyếtNGHIỆM CỦA PTVPĐịnh nghĩa: Nghiệm của phương trình vi phân cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó ta được một đồng nhất thức.Ví dụ:Nghiệm của phương trình vi phân là với C là hằng số tùy ý. II. PTVP CẤP 11. Các khái niệm cơ bản a. Các dạng biểu diễn  Dạng tổng quát: .  Dạng giải được theo đạo hàm  Dạng đối xứngb. Các dạng nghiệm của ptvp cấp 1  Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng y , với C tùy ý.  Nghiệm riêng: , với C= là một hằng số xác định  Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng , C là hằng số tùy ý.  Tích phân riêng: Nghi với là hằng số xác địnhc. Sự tồn tại duy nhất nghiệm  Bài toán: Cho phương trình vi phân cấp một: với điều kiện ban đầu  Định lí:  Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận của thì bài toán trên có nghiệm.  Nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy nhất.2. PTVP cấp 1 có biến phân ly a. Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một biến số phân li có dạng (1)3. Phương trình đẳng cấp cấp 1 a. Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một đẳng cấp là loại phương trình vi phân có thể đưa về được dạng sau:b. Cách giải Đặt biến phụ: Đưa về PTVP có biến phân ly theo hàm z, biến x.4. Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạngtrong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục. b. Cách giải: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (PP Lagrange)5. Phương trình Becnulya. Định nghĩa: Phương trình Becnuly có dạngtrong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; làmột số thực cho trước. b. Cách giải Đổi biến Đưa về PTVP tuyến tính cấp 1III. PTVP CẤP 21. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN a. Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát Dạng đã giải ra được đối với đạo hàmb. Định lý tồn tại duy nhất nghiệmc. Nghiệm của PTVP cấp 2 Giải PTVP cấp hai, được kết quả dạng trong đó là các hằng số tùy ý thì đẳng thức đó gọi là nghiệm tổng quát của PTVP đó. Nếu thay các giá trị cụ thể vào nghiệm tổng quát thì nghiệm gọi là một nghiệm riêng của phương trình.2. MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƢỢC Xét phương trình vi phân cấp 2 dạng a. Trường hợp vế phải không phụ thuộc y, y’. Phương trình có dạng: Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lầnb. Trường hợp vế phải không phụ thuộc y. Phương trình có dạng: Cách giải:- Đổi biến - Đưa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải ra y c.Trường hợp vế phải không chứa x. Dạng phương trình: Cách giải:- Đặt biến phụ: .- Đưa về PTVP cấp 1 với biến y, hàm p(y)- Giải p(y), từ đó tìm ra nghiệm của phương trìnhđã cho.