Bài giảng Toán cao cấp A1: Phần 1

Bài giảng Toán cao cấp A1: Phần 1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tập hợp − ánh xạ; số thực; các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp; giới hạn của hàm số; sự liên tục của hàm số; đạo hàm và vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1: Phần 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA SP -KHCB  TẬP BÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP A1 Dành cho sinh viên hệ ĐH các ngành Công nghệ thông tin Công nghệ Kỹ thuật Xây dựng Công nghệ Kỹ thuật Cơ khí Công nghệ Kỹ thuật Cơ Điện tử CNKT Điều khiển và Tự động hóa Hệ thống Thông tin LƯU HÀNH NỘI BỘ 2019 – 2020Chương 1 HÀM SỐ − GIỚI HẠN − LIÊN TỤC §1. TẬP HỢP – HÀM SỐ1.TẬP HỢP − ÁNH XẠ1.1. Tập hợp Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy (cơ bản) của toán học. Cũng như mọi từnguyên thủy khác như điểm, đường thẳng, …, không có định nghĩa cho tập hợp. Tathường nói tập hợp sinh viên của một lớp, tập hợp các điểm trên đường thẳng nào đó, . . .Ta có thể nói rằng tập hợp bao gồm các “đối tượng” có chung một tính chất nào đó. Mỗi“đối tượng” trong tập hợp gọi là một phần tử của tập hợp. Ta ký hiệu tập hợp bởi các chữhoa A, B, C, ... và dùng các chữ thường a, b, c, … để ký hiệu phần tử của tập hợp. Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A, đọc là a thuộc về A ; b không làphần tử của tập hợp A, ta viết b ∉ A, đọc là b không thuộc về A. Tập hợp gồm hữu hạn phần tử gọi là tập hợp hữu hạn. Tập hợp vô hạn được gọi là đếm được nếu có thể đánh số các phần tử của nó theothứ tự tự nhiên. Có hai cách xác định tập hợp :a) Liệt kê danh sách các phần tử : A = {a, b, c, ...}.Ví dụ 1. Tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 10, ta viết A = {0, 1, 2, ..., 9}.b) Nêu tính chất P : A = {x/ x có tính chất P}.Ví dụ 2. A = {x ∈ ℝ / x2 − 4 = 0}.Chú ý: Người ta thường dùng một đường cong kín để minh họa các tập hợp và gọi là giảnđồ Ven Đôi lúc ta chỉ dùng từ “tập” thay cho cụm từ “tập hợp”1.2. Tập hợp con Cho hai tập hợp A, B Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của Bta nói A là tập con của B và viết A ⊂ B; nếu A là tập concủa B và tập B có ít nhất một phần tử không thuộc về A thì ta nói rằng A là tập con thựcsự của B. Ta nói rằng tập A bằng tập B, ký hiệu A = B nếu A ⊂ B và B ⊂ A. Dĩ nhiên, ta có A ⊂ A với mọi tập A bất kỳ; ngoài ra nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C. Với tập hợp A đã cho, ta xét một tập hợp mới mà các phần tử là các tập con của A,ký hiệu P(A). Vậy P(A) = {X/ X ⊂ A}.1.3. Tập rỗng Tập hợp rỗng, ký hiệu Φ, là tập không chứa phần tử nào. Ta quy ước Φ là tập hợpcon của mọi tập A bất kỳ, cần phân biệt Φ ≠ Φ. Chẳng hạn, tập hợp các nghiệm thựccủa phương trình x2 – 4x + 5 = 0 là tập hợp rỗng.1.4. Giao của hai tập hợp Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∩ B là mộttập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập hợp. A ∩ B = {x/ x ∈ A ∧ x ∈ B}. do đó x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. A và B gọi là không giao nhau (hay rời nhau), 1nếu A ∩ B = Φ. 1.5. Hội (hợp) của hai tập hợp Hội của hai tập hợp A và B, ký hiệu A∪B là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ítnhất một trong hai tập hợp đó. A ∪ B = {x/ x ∈ A ∨ x ∈ B}. do đó x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B.1.6. Hiệu của hai tập hợp Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu AB là một tập hợp gồm các phần tử thuộc Anhưng không thuộc B. A B = {x/ x ∈ A ∧ x ∉ B}. do đó x ∈ A B ⇔ x ∈ A và x ∉ B. Đặc biệt, nếu B là tập con của A thì hiệuA B gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu CAB. CAB = A B = {x/ x ∈ A ∧ x ∉ B}.Chú ý : A B ≠ B A.1.7. Các tính chất (1) A ∩ A = A; A ∪ A = A; A ∩ Φ = Φ; A ∪ Φ = A (2) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A (3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (6) E (A ∩ B) = (E A) ∪ (E B); E (A ∪ B) = (E A) ∩ (E B).Nếu A1, A2 ⊂ E thì CE(A1∩A2) = CEA1 ∪ CEA2; CE(A1∪A2) = CEA1 ∩ CEA2.Chú ý : Tập hợp chỉ gồm hữu hạn phần tử được gọi là tập hữu hạn.1.8. Tích Descartes của hai tập hợp Cho hai tập hợp A, B khác rỗng. Tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu Ax B là tập hợp định nghĩa bởi A x B = {(a; b)/ a ∈ A ∧ b ∈ B}. Như vậy, tích Descartes của các tập hợp A và B là tập hợp các cặp thứ tự (a; b) vớia ∈ A và b ∈ B, nghĩa là với a ≠ b thì (a; b) ≠ (b; a).Ví dụ 3. Cho các tập hợp A = {1, 2}, B = {a, b, c} khi đó A x B = {(1; a), (1; b), (1; c), (2; a), (2; b), (2; c)}, B x A = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)}.2. ÁNH XẠ2.1. Định nghĩa ánh xạ. Cho hai tập hợp E, F khác tập rỗng. Một ánh xạ f từ tập E sangtập F, ký hiệu f : E → F, là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của tập E với một vàchỉ một phần tử xác định của tập F. Khi đó: E : Tập gốc hay tập nguồn. F : Tập ảnh hay tập đích. ...