Bài giảng Toán cao cấp A1 - Trường CĐ Công nghiệp Huế

Bài giảng Toán cao cấp A1 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: giới hạn và liên tục; phép tính vi phân của hàm một biến số; phép tính tích phân của hàm một biến; đại số tuyến tính; ohép tính vi phân của hàm hai biến số;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1 - Trường CĐ Công nghiệp Huế BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2014 Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn của dãy số 1.1.1 Ánh xạ, dãy số Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ. Ký hiệu f : X  Y, x  y  f (x) Hay f :X  Y x  y  f (x) Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi là một dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n). Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ... Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un). 1.1.2 Giới hạn của dãy số Định nghĩa Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a) nếu   > 0,  n0  N sao cho n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a. n  Một số giới hạn cần nhớ  limC = C (C là hằng số) 1  lim  = 0 (với  > 0) n  limqn = 0 (với |q| < 1) Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Định lí 3 Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn a lima n iii) Nếu limbn  0 thì lim n  b n lim b n iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L 1 Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.1.3. Giới hạn vô hạn: Cho dãy số (an)n . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an > M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = +  hay an + . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an < – M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = –  hay an – . 1 Chú ý: limun =  thì lim  0 un 1.2 Giới hạn của hàm số 1.2.1 Hàm số a. Định nghĩa Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi là hàm số. x được gọi là biến độc lập y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x X được gọi là tập xác định của hàm f. Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x). Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} b. Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số g:YX y  x = g(y) gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T  D c. Các hàm số sơ cấp cơ bản 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác 2 Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5) Các hàm lượng giác ngược   a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.  2 2 Ký hiệu là y = arcsin x. Vậy hàm    arcsin: [  1;1]    ;   2 2 x  y  arcsinx trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin. b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin là hàm arccos: [  1;1]   0;  x  y  arccosx trong đó cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang là hàm    arctan: R    ;   2 2 x  y  arctan x trong đó tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang là hàm arccot: R   0;  x  y  arccotx trong đó coty = x Ví dụ:  3  arcsin     2  3  arctan1  4  1  2 arccos      2 3 3 Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2.2. Giới hạn của hàm số a. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n , xn  x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết lim f (x)  L xx0 b. Một số giới hạn cần nhớ  lim C  C lim x  x 0 lim arctan x   xx0 xx0 x  2 x sinx e 1 ln(1  x) lim 1 ; lim 1; lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x c. Tính chất Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 (nếu có) là duy nhất. Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 và lim f (x)  L , lim g(x)  L' thì L  L'. xx0 xx0 Định lí 3: ( ...