Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - Nguyễn Hải Sơn

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Phương trình vi phân" cung cấp khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm của phương trình; các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng, bài toán cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2; cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - Nguyễn Hải Sơn BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 1 v1.0 LÝ THUYẾT 1. Khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm của phương trình. 2. Các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng, bài toán Cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2. 3. Cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2. 2 v1.0 VÍ DỤ 1 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy '  2y ? a. y  4x 2 b. y  x 3 c. y  x 2  4 d. y  Cx 4 , C  const 3 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 5.1.1.3 (tr.96) 4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy '  2y ? a. y  4x 2  y  4x2 y'  8x xy'  8x2  2y b. y  x 3  y  x3 y'  3x2 xy'  3x3  2y c. y  x 2  4  y  x2  4 y'  2x xy'  2x2  2y d. y  Cx 4 , C  const  y  Cx4 y'  4Cx3 xy'  4Cx4  2y Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng. 5 v1.0 VÍ DỤ 2 Hàm số y  xe  x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau đây? a. y' y  ex b. y' y  ex c. y' y  ex d. y' y  ex 6 v1.0 VÍ DỤ 2 (tiếp theo) Hàm số y  xe  x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau đây? a. y' y  ex  b. y' y  ex  y  xe  x  y '  e  x  xe  x  y ' y  e  x  xe  x  xe  x  e  x  c. y' y  ex   y ' y  e  xe  xe  e  2xe x x x x x d. y' y  ex  Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đó thỏa mãn phương trình nào. 7 v1.0 VÍ DỤ 3 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y  0 ? a. y  sin2 x b. y  sin x cos x c. y  sin x  2 cos x d. y  e  x 8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y  0 ? a. y  sin2 x  b. y  sin x cos x  c. y  sin x  2 cos x  d. y  e  x  9 v1.0 VÍ DỤ 4 Phương trình x 2 dx  sin y.dy là phương trình loại nào? a. Phương trình phân li biến số. b. Phương trình thuần nhất. c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. d. Phương trình vi phân toàn phần. 10 v1.0 VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem dạng của các Phương trình vi phân cấp 1 11 v1.0 VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Phương trình x 2 dx  sin y.dy là phương trình loại nào? a. Phương trình phân li biến số.  b. Phương trình thuần nhất.  c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.  d. Phương trình vi phân toàn phần.  Chú ý: Thông thường ta phải biến đổi một vài bước, mới ra được dạng của Phương trình vi phân. 12 v1.0 VÍ DỤ 5 Phương trình xydx  (1  x )(1  y )dy  0 là phương trình loại nào? 2 2 a. Phương trình phân li biến số. b. Phương trình thuần nhất. c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. d. Phương trình vi phân toàn phần. 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Phương trình xydx  (1  x 2 )(1  y 2 )dy  0 là phương trình loại nào? a. Phương trình phân li biến số.  xydx  (1  x2 )(1  y2 )dy  0 x (1  y2 ) b. Phương trình thuần nhất.   dx   dy 1 x 2 y c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.  d. Phương trình vi phân toàn phần.  14 v1.0 VÍ DỤ 6 Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình y ' y  tg y trở thành phương trình nào đối với hàm số u(x) ? ...