Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - PGS. TS. Bùi Minh Trí

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Phương trình vi phân" giới thiệu với các bạn các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân nói chung và một số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm, phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - PGS. TS. Bùi Minh Trí BÀI À 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGS. TS. Bùi Minh Trí 1v2.3013103225NỘI DUNGBài này sẽ giới thiệu với các bạn các khái niệmcơ bản về phương trình vi phân nói chung vàmột số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm,phươngp g p phápp g giải một ộ số loạiạ p phươngg trình viphân cấp một, cấp hai đặc biệt. 2v2.3013103225MỤC TIÊU• Nắm được khái niệm phương trình vi phân;• Làm được bài tập về phương trình vi phân. phân 3v2.30131032251. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNĐịnh nghĩa:• Phươ Phương trình t ì h vii phân hâ là phương hươ trình t ì h xuất ất hiện hiệ biến biế số, hàm số cần tìm và các đạo hàm các cấp của hàm số đó.• Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số cần tìm xuất hiện trong phương trình đó. 4v2.30131032251.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1Phương trình vi phân cấp một được cho dướimột trong các dạng sau đây: • Dạng tổng quát: F(x, y, y )  0 • Dạng đã giải ra đạo hàm: y  dyy  f(x, f(x y) dx • Dạng đối xứng: M(x, y)dx  N(x, y)dy  0Ta thấy rằng có thể dễ dàng chuyển đổi giữa haidạng của phương trình vi phân: Dạng đối xứngvà giải ra đạo hàm. hàm 5v2.30131032251.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂNTỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG• Định nghĩa: Họ hàm số y  (x, C) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp một nếu với một hằng số C, thì hàm số  ( x , C ) tương ứng là một nghiệm của phương trình. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng ổ quát khi gán cho C một giá trị xác định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình.• Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn (x, y, C)  0 được gọi là tích p phân tổng g qquát của p phương g trình đó. Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C được gọi là một tích phân riêng của phương trình. 6v2.30131032251.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂNTỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG (tiếp theo)Ví dụ : x2• Phương trình y = x có nghiệm tổng quát là: y  C 2 2 x 1 g ệ y Nghiệm ộ nghiệm là một g ệ riêngg của p phươngg 2 trình ứng với C  1 2• Phương trình y 2 dy  xdx  0 có tích phân tổng quát là y3 x2  C 3 2 Với C = 1 ta có tích phân riêng 2 2y 3  3x 3 2 6 7v2.30131032251.1.2. BÀI TOÁN CAUCHYXét phương trình vi phân cấp một cho ở dạng: dy  y  f(x, y) dx (5.1) g ệ riêng• Bài toán tìm nghiệm g của p g trình ((5.1)) thoả phương mãn điều kiện: y(x 0 )  y 0 (5.2) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (5.2) được gọi là điều kiện ban đầu.• Ta thừa nhận định lý sau đây về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Cauchy 8v2.30131032251.1.3. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐPhương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx = g(y)dyLấy tích phân hai vế ta được:  f(x)dx   g(y)dy  F(x)  G(y)  Ctrong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(y) là một nguyênhàm của g(y). • Ví dụ: Giải các phương trình vi phân sau: (1+x)dy = (1 (1-y)dx y)dx • Nhận xét: y = 1 và x = -1 là hai nghiệm của phương trình này. Khi y  1, x  1 , ta biến đổi tương đương: ...