Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương

Bài giảng Toán cao cấp C1 gồm 5 chương. Nội dung bài giảng trình bày các nội dung về phép tính vi phân hàm một biến, phép tính vi phân hàm nhiều biến, phép tính tích phân phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi. Ở mỗi chương có bài tập và lời giải chi tiết giúp sinh viên nắm vững kiến thức được học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương BÀI GI NG TOÁN CAO C P C1 Đoàn H ng Chương11 B môn Toán - TKKT, Đ i h c Kinh T - Lu tToán cao c p C1 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N §1. Gi i h n dãy s1.1 Dãy sĐ nh nghĩa 1.1. Dãy s là m t t p h p các s x1, x2, . . . , xn, . . . đư c vi t theom t th t nh t đ nh. Kí hi u (xn). • x1, x2, . . . : s h ng. • xn : s h ng t ng quát.Cách cho m t dãy s • Cho công th c s h ng t ng quát. • Cho công th c truy h i. • Mô t .Ví d 1.1. Cho các dãy s • (xn) : xn = 2n + n2, n = 1, 2, . . . Trang 1Toán cao c p C1 • (xn) : x1 = 1, xn+1 = 2xn + 3, n = 1, 2, . . . • (xn) là dãy các s nguyên t .Đ nh nghĩa 1.2. Cho dãy s (xn). • (xn) đư c g i là dãy s tăng n u xn < xn+1, ∀n ∈ N • (xn) đư c g i là dãy s gi m n u xn > xn+1, ∀n ∈ NVí d 1.2. Xét tính tăng gi m c a các dãy s n n+11. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = , n = 1, 2, . . . n+1 nGi i.1. Ta có n+1 n (n + 1)2 − n(n + 2) 1xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n ∈ N, n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) Trang 2Toán cao c p C1nên xn+1 > xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s tăng.2. Ta có n+2 n+1 (n + 1)2 − n(n + 2) 1xn+1 − xn = − =− =− < 0, ∀n ∈ N, n+1 n n(n + 1) n(n + 1)nên xn+1 < xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s gi m.Đ nh nghĩa 1.3. Cho dãy s (xn). • (xn) đư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho xn ≤ M, ∀n ∈ N. • (xn) đư c g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ N. • (xn) đư c g i là b ch n n u nó b ch n trên và b ch n dư i, nghĩa là t n t i các s th c m và M sao cho m ≤ xn ≤ M, ∀n ∈ N.Ví d 1.3. Xét tính b ch n c a các dãy s Trang 3Toán cao c p C1 2n n1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = 2+1 , n = 1, 2, . . . n+1 n1.2 Gi i h n dãy sĐ nh nghĩa 1.4. S th c a đư c g i là gi i h n c a dãy s (xn) n u: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho |xn − a| < , ∀n > n0. (1.1)Kí hi u: lim xn = a. n→∞ • N u dãy s (xn) có gi i h n thì ta nói (xn) h i t . • N u dãy s (xn) không có gi i h n thì ta nói (xn) phân kì.Ví d 1.4. Tìm gi i h n c a các dãy s n+1 11. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = n , n = 1, 2, . . . n 2Gi i. n+11. Ta d đoán lim = 1, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0, n→+∞ n Trang 4Toán cao c p C1 n+1ta c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c − 1 < , đúng v i m i n > n0. n n+1 1 1 1 1T −1 = < suy ra n > . Ch n n0 = + 1 thì n0 > . Do đó n n n+1 − 1 < , ∀n > n0. V y n 1 n+1 ∀ > 0, ∃n0 = + 1 sao cho − 1 < , ∀n > n0. n n+1Đi u này ch ng t lim = 1. n→∞ n 12. Ta d đoán lim n = 0, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0, ta n→+∞ 2 1c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c n − 0 < , đúng v i m i n > n0. T 2 1 1 1 1 1 − 0 = n < suy ra n > log2 . Ch n n0 = log2 + 1 thì n0 > log2 . Do 2n 2 1đó n − 0 < , ∀n > n0. V y 2 1 1 ∀ > 0, ∃n0 = log2 + 1 sao cho n − 0 < , ∀n > n0. 2 Trang 5Toán cao c p C1 1Đi u này ch ng t lim n = 0. n→+∞ 2Dãy s d n đ n vô cùng ...