Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Lê Trường Giang

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 3 - Không gian vectơ" trình bày những nội dung chính sau đây: Khái niệm không gian vectơ; Không gian vectơ con; Tổ hợp tuyến tính; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở và số chiều; Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Lê Trường Giang1 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠNỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 3.1. Khái niệm 3.2. Không gian vectơ con 3.3. Tổ hợp tuyến tính 3.4. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 3.5. Hệ sinh 3.6. Cơ sở và số chiều 3.7. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở 3.8. Ma trận chuyển cơ sở 3.9. Không gian n 2 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.1. KHÁI NIỆM Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangCho V   trên đó có hai phép toán: một phép toántrong mà ta gọi là phép cộng và một phép toán ngoàimà ta gọi là phép nhân với số thực:  : VV  V  u, v  uv  : R  VV  k,u  kuTập V cùng với hai phép toán trên được gọi là mộtkhông gian vectơ trên nếu: u, v, w  V; ,   các 3phép toán trên V thỏa các tính chất sau:Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) u  v  v  u 2)  u  v   w  u   v  w  3) O  V : u  O  u 4)  u   V : u   u   O 5)   u      u 6)   u  v   u  v 7)      u  u  u 8) 1  u  u 4 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.2. KHÔNG GIAN VECTƠ CON Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangCho V là một không gian vectơ, W  , W  V. Nếuu, v  W,k  mà: u  v  W   ku  WThì W được gọi là không gian vectơ con của V.Chú ý: Cho L n , L là một không gian con của:  OL n  5 x, y  L;k  :x  ky  L Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giangtuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gianvectơ con của nVí dụ 3.1. Cho biết tập nào sau đây là một không giancon của 2a) L1  x  2 : x   a,3  2a  ,a  b) L 2  x  2 : x   a,3a  ,a   6 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.3. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangCho S  u1,u 2 , ,u n ;k1,k 2 , k n  ; ta có: u  k1u1  k 2u 2   k n u n Khi đó u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ S. Ví dụ 3.2. Trong 3, xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 hay không.a) u1  1,0,1 ;u 2  1,1,0  ;u 3   0,1,1 ;u  1,2,1b) u1  1, 1,2  ;u 2  1,1, 1 ;u 3   1, 3,4  ;u  1, 3,5  Ví dụ 3.3. Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u,v,w. Trong đó: x   7, 2,15  ;u   2,3,5  ; v   3,7,8  ; w  1, 6,1 7 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.4. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangTUYẾN TÍNHXét phương trình: k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n  0 (1)i. (1)  k1  k 2   k n  0 : hệ S là độc lập tuyếntính.ii. k i  0 : k1u1  k 2 u 2   k n u n  0 : hệ S phụ thuộctuyến tính. 3Ví dụ 3.4. Trong , xét xem hệ vectơ sau là độc lậptuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) u1  1,1,1 ;u 2  1,1,2  ;u 3  1,2,3  8 b) u1   1,2,1 ;u 2  1,1, 2  ;u 3  (0,3, 1) Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠVí dụ 3.5. Trong không gian 3 cho hệ vectơ sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang   u1  1,1,1,1 ;u 2  1, 1, 1,1 ; u 3  1, 1,1, 1 ;u 4  1,1, 1, 1Chứng minh hệ vectơ trên là độc lập tuyến tính? 9 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.5. HỆ SINH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangCho V là một không gian vectơ, S  u1 ,u 2 , ,u n   V W  k1u1  k 2 u 2   k n u n / k1 k 2 , ,k n  Ta nói W là tập các tổ hợp tuyến tính của S, hay W sinhbởi S, hay S sinh ra W.Kí hiệu: W  S  u1 ,u 2 , ,u n  Span S  10 Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ3.6. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangCho V là ...