Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Lê Trường Giang

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 4 - Dạng toàn phương" trình bày những nội dung chính sau đây: Chéo hóa ma trận; Phép biến đổi tuyến tính; Giá trị riêng, vectơ riêng; Chéo hóa ma trận vuông; Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng; Tính lũy thừa ma trận; Khái niệm dạng toàn phương; Xác định dấu của dạng toàn phương;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Lê Trường Giang1 Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNGNỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 4.1. Chéo hóa ma trận 4.2. Dạng toàn phương 2 Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG4.1. CHÉO HÓA MA TRẬN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang4.1.1. Phép biến đổi tuyến tính1) Định nghĩaMột phép biến đổi tuyến tính của không gian n là một nhàm T từ tới chính nó thỏa mãn: x, y  n ;T  x  y   T  x   T  y  x  n ,   ;T  x   T(x)Qua định nghĩa trên ta nhận thấy rằng phép biến đổituyến tính bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong nkhông gian vectơ . 3 Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG2) Tính chất Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Gianga) T biến vectơ không thành vectơ không,b) T biến một tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ thànhmột tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ ảnh,c) T biến một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thành mộthệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.4.1.2. Giá trị riêng, Vectơ riêng1) Định nghĩaCho ma trận vuông A cấp n. Số  là giá trị riêng của matrận A và vectơ n-chiều khác không x là vectơ riêng ứngvới giá trị riêng  nếu 4 Ax  x Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  x1  x Trong đó ta ký hiệu: x     2    xn  2) Tính chất a) Nếu A có vectơ riêng x ứng với giá trị riêng  thìcx  c  0,c   cũng là vectơ riêng ứng với  . b) Nếu  là giá trị riêng của A thì  n là giá trị riêng của An 5 Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNGc) Nếu  là giá trị riêng của A và det  A   0 thì   n Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang nlà giá trị riêng của Ad) Nếu  là giá trị riêng của A thì f    là giá trị riêngcủa f  A e) Nếu 1 ,  2 , ,  n là các giá trị riêng của A suy ra: n det  A   1 ,  2 , ,  n   i ; i 1 n det f  A   f  1  f   2  f   n    f  i  i 13) Định lý 6 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi nó lànghiệm của phương trình đặc trưng det  A  I   0 Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG4) Ma trận đồng dạng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangHai ma trận vuông A và B cấp n là đồng dạng với nhaunếu tồn tại một ma trận vuông không suy biến P sao cho A  P 1BPHai ma trận đồng dạng với nhau có cùng tập hợp cácgiá trị riêng.4.1.3. Chéo hóa ma trận vuông1) Định nghĩaMa trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại mộtma trận vuông P không suy biến thỏa mãn: 1 7 D  P AP Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNGTrong đó:  1  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  2  D        n được gọi là ma trận chéo (dạng chéo của ma trận A).Các phần tử nằm trên đường chéo chính của D chính làcác giá trị riêng của ma trận A. P được gọi là ma trận làm chéo A (ma trận làm cho Achéo hóa được). Các cột của P chính là các vectơ riêngtương ứng.2) Chú ý: Ma trận A chéo hóa được khi nó đồng dạng 8với ma trận D. Chương 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG3) Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Gianga) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉkhi A có n giá trị riêng phân biệt.b) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉkhi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.b’) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉkhi A có n giá trị giá trị riêng (kể cả số lần bội) và ứngvới vectơ riêng bội m ...