Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Lê Trường Giang

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 5 - Giới hạn và liên tục của hàm một biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm số; Các khái niệm về hàm số liên tục; Hàm số liên tục đều;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Lê Trường Giang1Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾNNỘI DUNG CHƯƠNG 5: GIỚI HẠN VÀ LIÊN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangTỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.1. Giới hạn 5.2. Hàm số liên tục 2Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Giải tích toán học lấy giới hạn làm phương pháp Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giangđể nghiên cứu hàm số. Người ta phân biệt giới hạn củadãy với giới hạn của hàm. Các khái niệm này chỉ đượchoàn chỉnh vào thế kỉ 19, dù rằng các nhà bác học cổ HiLạp cũng đã nghĩ tới chúng. Chỉ cần biết rằngArchimède (thế kỉ 3 trước công nguyên) đã tính đượcdiện tích của chỏm hình parabol, bằng một quá trình màngày nay chúng ta gọi là chuyển đến giới hạn. Một lớpcác hàm quan trọng nghiên cứu trong giải tích toán họclà các hàm số liên tục. 3Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN5.1. GIỚI HẠN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang5.1.1. Giới hạn của dãy số1) Cấp số cộng và cấp số nhâna) Cấp số cộng+ Định nghĩa: dãy  x n  được gọi là một cấp số cộng vớicông sai d nếu thỏa: x n  x n 1  d+ Định lý: x n  x1   n  1 d n Sn  x1  x 2   x n   x1  x n  4 2Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾNb) Cấp số nhân Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang+ Định nghĩa: dãy  x n  được gọi là một cấp số nhân vớicông bội q nếu thỏa: x n  qx n 1+ Định lý: x n  x1q n 1 1  qn Sn  x1  x 2   x n  x1 1 q 5 Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN2) Giới hạn của dãy số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangTa nói rằng dãy số  x n  có giới hạn là a  nếu khoảngcách giữa x n và a có thể thu hẹp một cách tùy ý bằngcách lấy n đủ lớn. Tức là:lim x n  a    0, n 0  n 0    : n  n 0  x n  a  n Ví dụ 5.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau:  2   3 ; c) lim  1  1   n n 1a) lim   ; n   2   3 n 1 n 1 n  1.2  2.3 n  n  1     2n  3  nb) lim n  n  1  n  n  1 ; d) nlim  2 2  6  2n  1 n   Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN5.1.2. Giới hạn của hàm số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang1) Khái niệm Số L được gọi là giới hạn của hàm số f  x  khi x  x 0nếu khoảng cách giữa f  x  và L có thể thu hẹp một cáchtùy ý bằng cách thu hẹp tương ứng khoảng cách từ xđến x 0 . Tức là: lim f  x   L    0,   0 : 0  x  x 0   x x 0  f x  L   7Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN2) Giới hạn một phía Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang+ Định nghĩa: lim f  x   L : giới hạn trái. x x 0 xlim f  x   L : giới hạn phải. x0+ Định lý:Giới hạn lim f  x   L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại x x 0lim f  x  , lim f  x  vàx x 0 x x 0 8 lim f  x   lim f  x   lim f  x   L x x 0 x x 0 x x 0Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN3) Cho   x  ,   x  là hai vô cùng bé (VCB) Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang x lim L x a   x i. Nếu L = 0 thì   x  là VCB bậc cao hơn   x  . Kí hiệu   x      x  ii. Nếu L = 1 thì   x ...