Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 VD 1. Cho phương trình vi phân y   x  0 (*). §2. Phương trình vi phân cấp 2 x2 Xét hàm số y   C , ta có: …………………………… §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2 y   x  0 thỏa phương trình (*). 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 x2 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng Suy ra y   C là nghiệm tổng quát của (*). tổng quát F (x , y, y )  0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2 theo y  thì (*) trở thành y   f (x , y ). x2 Thế x  2, y  1 vào y   C , ta được: • Nghiệm của (*) có dạng y  y(x ) chứa hằng số C được 2 gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y 0  y(x 0 ) x2 cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm C  1  y   1 là nghiệm riêng của (*) ứng với 2 tổng quát ta được giá trị C 0 cụ thể và nghiệm lúc này điều kiện đầu y(2)  1 . được gọi là nghiệm riêng của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân d(1  x 2 ) d(1  y 2 )   1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản   2C 2 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 1x 1  y2 Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx  g(y )dy  0 (1).  ln(1  x 2 )  ln(1  y 2 )  2C  ln (1  x 2 )(1  y 2 )  ln C 1 . Ø Phương pháp giải   Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: Vậy (1  x 2 )(1  y 2 )  C .  f (x )dx   g(y )dy  C . VD 3. Giải phương trình vi phân y   xy(y  2). xdx ydy VD 2. Giải phương trình vi phân   0. dy 1  x2 1  y2 Giải. y   xy(y  2)   xy(y  2) Giải. Ta có: dx xdx ydy xdx ydy dy 1 1   1  x 2 1  y2 0  1  x 2   1  y2  C  y(y  2)  xdx     dy   2xdx  y y  2  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân y y 1  ln  x2 C  2  C .e x . VD 5. Giải ptvp xy   y  y 2 thỏa điều kiện y(1)  . y2 y2 2 dy VD 4. Giải ptvp x 2 (y  1)dx  (x 3  1)(y  1)dy  0 . Giải. xy   y  y 2  x  y  y2 dx x2 y 1 ...