Bài giảng Toán cao cấp - Ngô Thái Hưng

Bài giảng "Toán cao cấp" do Ngô Thái Hưng biên soạn trình bày các nội dung: Khái niệm chung, hệ tuyến tính Cramer, hệ tuyến tính tổng quát, hệ tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp - Ngô Thái HưngTRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN -------- TOÁN CAO CẤP Ngô Thái Hưng Năm học 2009HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Thời gian: 8 tiếtNỘI DUNG Khái niệm chung Hệ tuyến tính Cramer Hệ tuyến tính tổng quát Hệ tuyến tính thuần nhất §1. Khái niệm chung1. ðịnh nghĩa Hệ phương trình tuyến tính (Linear Equations System) là một hệ gồm m phương trình bậc nhất theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau:  a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x  21 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b2   ... ... ... ... ... ... ... ... ... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn xn = bm §1. Khái niệm chung ðặt  a11 a12 ⋯ a1n   x1   b1   a11 a12 ... a1n b1          a21 a22 ⋯ a2n  x b a21 a22 ... a2n b2 A=  ,X =  2 ,B =  2  ,A = ( A B) =  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯   ⋮   ⋮   ... ... ... ... ...           am1 am2 ⋯ amn   xn   bm   am1 am2 ... amn bm  Hệ ñược viết lại ở dạng ma trận : AX=B A ñược gọi là ma trận hệ số, B là ma trận cột các hệ số tự do, X là ma trận ẩn, A là ma trận bổ sung (hay ma trận các hệ số mở rộng). §1. Khái niệm chung2. ðịnh nghĩaC = ( c1,c2,…,cn ) ∈ ℝn gọi là nghiệm của hệ nếu thay X bằng CT thì A.CT=B. Hai hệ phương trình gọi là tương ñương khi chúng có cùng tập nghiệm. §1. Khái niệm chung3. Tính chất 1. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có thể có duy nhất 1 nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 2. Nếu ta ñổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0, thay phương trình ñó bằng phương trình ñó cộng với một hằng số nhân một phương trình khác thì ta nhận ñược hệ mới tương ñương với hệ ban ñầu. ⇒ Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng trên ma trận các hệ số mở rộng cho ta hệ mới tương ñương. §2. Hệ Cramer1. ðịnh nghĩa Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng với số ẩn và ñịnh thức của ma trận hệ số khác 0 Ví dụ  − x1 + 2x 2 = −2  −1 2 0  ( I) =  3x1 + x2 + x3 = 6  A =  3 1 1  −2x − x2 = 1  −2 −1 0   1   −1 2 0 A = 3 1 1 = −5 ≠ 0 (I) Là hệ Cramer −2 −1 0 §2. Hệ Cramer2. Giải hệ Cramer Nhận xét : hệ Cramer AX = B luôn có 1 nghiệm duy nhất. 1. Sử dụng ma trận nghịch ñảo |A| ≠ 0 ⇒ A khả nghịch ⇒ X = A-1.B 2. Phương pháp Gauss Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể biến ma trận bổ sung A = ( A B ) về A = ( A B ) sao cho A’ là ma trận tam giác trên. Nghiệm của hệ ñược giải từ dòng dưới lên trên. §2. Hệ Cramer2. Giải hệ Cramer 2. Phương pháp Gauss Ví dụ  x1 + 3x 2 + 7x 3 = 1  1 3 7 ( I) =  2x1 + x2 + 2x 3   = 0 , A =  2 1 2  , A = −1    −7x1 + x2 + 4x 3 = 1  −7 1 4  |A| ≠ 0 ⇒ (I) là hệ Cramer.  1 3 7 1 1 3 7 1   (2): = (2) − 2.(1)   A =  2 1 2 0   (3): = (3) +7.(1) →  0 − 5 −12 −2   −7 1 4 1   0 22 53 8      §2. Hệ Cramer2. Giải hệ Cramer 3. Sử dụng ñịnh thức (công thức Cramer) Gọi A i , i = 1, n là ma trận nhận ñược từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột các hệ số tự do Khi ñó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất :  det A i  xi = , i = 1, n  ...