Bài giảng Toán cao cấp: Phương trình vi phân - ThS. Nguyễn Văn Phong

Bài giảng "Toán cao cấp: Phương trình vi phân" trình bày các khái niệm chung về phương trình vi phân, định nghĩa phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Phương trình vi phân - ThS. Nguyễn Văn PhongPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNNguyễn Văn PhongToán cao cấp - MS: MAT1006Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)GIẢI TÍCHToán cao cấp - MS: MAT10061 / 26NỘI DUNG1KHÁI NIỆM CHUNG2ĐỊNH NGHĨA3PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I4PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)GIẢI TÍCHToán cao cấp - MS: MAT10061 / 26Một số ví dụVí dụ 1. Nghiên cứu về dân số, người ta thấy rằng, tỷ sốgiữa sự thay đổi dân số theo thời gian được cho như sau:dP= rP, P(0) = P0 , P, P0 > 0(1)dttrong đó r là tỷ lệ tăng dân hằng năm.Nhân hai vế của (1) cho 1/P, ta được1 dP=rP dtTích phân hai vế, ta được(2)ln P = rt + C ⇒ P = e rt+CMặt khác, với P(0) = e0+C= P0 , thay vào (3) ta đượcP(t) = P0 e rtNguyễn Văn Phong (BMT - TK)(3)GIẢI TÍCH(4)Toán cao cấp - MS: MAT10062 / 26Một số ví dụKết quả ứng dụng1. Dựa vào (4), nếu dân số thế giới năm 1990 là 5.8 tỉ và nếu tỉ lệr = 2.6% thì dân số thế giới năm 2013 là 10.8245 tỉ2. Dân số Việt Nam năm 1990 là 63 triệu và tỉ lệ r = 2%, thì dânsố Việt Nam năm 2013 là 101.8 triệu.Ví dụ 2. Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trongtế bào của thực vật, động vật, người trong suốt thời gianchúng sống, lượng carbon − 14 phóng xạ không đổi. Nếuchúng chết, lượng carbon − 14 phóng xạ sẽ giảm do sựphân rã hạt nhân. Và sự phân rã này tuân theo môt quyluật cho bởidQ= −rQ, Q(0) = Q0(5)dtNguyễn Văn Phong (BMT - TK)GIẢI TÍCHToán cao cấp - MS: MAT10063 / 26Một số ví dụTương tự như ví dụ 1, ta cũng có kết quả sauQ(t) = Q0 e −rt , với r = 0.0001238(6)Kết quả ứng dụngCác nhà khảo cổ ở Châu phi tìm thấy bộ xương của người tiền sử,với lượng carbon − 14 hiện diện là 10%. Khi đó, áp dụng (6), ta cóQ(t) = 0.1Q0 = Q0 e −0.0001238tSuy ra, t =ln 0.1= 18.600 năm−0.0001238Qua hai ví dụ trên, ta thấy việt tìm ra các quy luật (Môhình) có ứng dụng rất mạnh trong thực tế. Đặc biệt làtrong lĩnh vực dự báo.Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)GIẢI TÍCHToán cao cấp - MS: MAT10064 / 26