Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định

Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định trình bày kiến thức lý thuyết, định nghĩa, công thức, các bài tập và ví dụ minh họa về tích phân bất định. Bài giảng này nhằm hỗ trợ kiến thức giúp các bạn học toán cao cấp về phần tích phân được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất địnhTÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨAF(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫ f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx 1 x1 / � 2 = arctan x + C 2/� 2 2 = arctan + C 1+ x a +x a a dx dx x3/ � = arcsin x + C 4/ � = arcsin + C 1− x 2 2 a −x 2 a dx5/ = ln x + x 2 + k + C x2 + k 2 2 x 2 2 a2 x6 / a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 x 2 k7 / x + kdx = x + k + ln x + x 2 + k + C 2 2 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM8 / chx dx = shx + C9 / shx dx = chx + C dx10 / 2 = thx + C ch x dx11 / 2 = −cothx + C sh x dx x12 / = ln tan + C sin x 213 / dx � +π � C = ln tan � x + � cos x � 4� 2 Ví dụ dx x = arcsin + C 2 2 4−x dx 1 x 2 = arctan + Cx +4 2 2 x x x 1 x3 e dx = (3e ) dx = (3e ) + C ln 3 + 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) ⇒ dx = u’(t) dt ∫ f(x) dx = ∫ f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t⇒ u’(x) dx = dt ∫ f(u(x))u’(x) dx = ∫ f(t) dt2. Tích phân từng phần:∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ∫ u’(x)v(x)dx Ví dụ2 x3 1 x3 3 1 x3x e dx = e d(x ) = e +C 3 3 xarctan 1 x � x� 2 dx = arctan d � arctan � 2 2 2 � 2� 4+x Một số lưu ý khi dùng tp từng phầnPn ( x ) là đa thức bậc n. Pn .ln(α x )dx Pn .arctan xdx dv = Pndx, u là phần còn lại Pn .arcsin xdx αx Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại Pn .sin xdx Ví dụ dx u = arcsin x � du =I = arcsin xdx 2 1− x dv =dx , chon v = x & 2 xdx 1 d (1 − x )I = x arcsin x − = x arcsin x + 1− x2 2 2 1− x2 1 = x arcsin x + 1 − x 2 + C 2 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶNguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx ( Ax + B )dx � − a)m , �2 + px + q (x xTrong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có ∆ = p2 4q< 0 Tích phân các phân thức cơ bản dx = ln x − a + C x −a dx 1 1 = m −1 + C (m > 1)( x − a) m 1 − m ( x − a) Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) 2 x + px + q A 2x + p � − Ap � dx= 2 dx + �B � 2 2 x + px + q � 2 � x + px + q 2x + p du 2 dx = = ln u + C x + px + q u Tích phân các phân thức cơ bản dx dx 2 = 2x + px + q � + p �+ q − p 2 �x � � 2� 4 dv 1 v = 2 2 = arctan + C v +a a a Ví dụ x- 1￲ dx 2 x - x +1 1 2x - 1 �1 � dx = ￲ dx + ￲ - ￲￲ 1￲ 2 x2 - x +1 ￲2 � ￲ � x2 - x +1 1 2 1 dx= ln( x - x + 1) - ￲ 2 2 2 � 1� 3 ￲x - ￲ + ￲ ￲ � 2� 4￲ 1 1 1 2 x- 2= ln( x - x + 1) - . arctan2. 2 +C 2 2 3 3 Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B) dx A (2 x + p)dx Ap dx�2 + px + q)n = 2 �2 + px + q)n + (B − ...