Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận, gồm kiến thức lý thuyết, các định nghĩa, ví dụ và bài tập minh họa về trị riêng và vecto riêng của ma trận, giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc nắm kiến thức và học tốt hơn môn toán cao cấp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - � −2 � 3 − �1� 2 ��Ví dụ. A=� u=� � v = �� 1 0� � � 1 �� 1 ��Tính Au và Av. Hãy cho biết nhận xét. Av u v AuSố λ được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x kháckhông, sao cho Ax = λ x. Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông λ A tương ứng với trị riêng . Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví dụ � 6� 1 6 3 � � v=� � A=� � u=� � �2 � � 2� 5 − �5� − � � Véctơ nào là véctơ riêng của A? Giải 1 � − � 6 � 6 � � 24 � 6 � � Au = � � � � � −4 � � −4.u � 5 = 20 = = � 2 �− � � � 5 � − � 5� Ta có Au = −4.u u là véctơ riêng 1 � − � 6 � 3 � �9 � Av = � � � � � � 2 = 11 � 2 �− � � � 5 �Không tồn tại số λ đểAv = λv v không là véctơ riêng Trị riêng, véctơ riêng của ma trận-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Ví dụ. � 4 � λ = −1; λ = 3 3 A=� � 1 2 � 5� 6 Số nào là trị riêng của A? Giải. Xét hệ phương trình Ax = λ1 x � 4 �x 1 � � 1 � 3 � x 4x1 + 4x 2 = 0�� �x � −1� � � = x 6x1 + 6x 2 = 0 � 5� 2 � � 2 � 6 �Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, 1 � �ví dụ x = � � khi đó Ax = λ1 x. − � 1�Vậy λ1 là trị riêng.Kiểm tra tương tự thấy λ2 không là trị riêng. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Giả sử λ0 là trị riêng của ma trận A � ∃x 0 � Ax 0 = λ0x 0 0: � Ax 0 − λ0x 0 = 0 � (A − λ0I )x 0 = 0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không � det(A − λ0I ) = 0 det(A − λ I ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng củama trận vuông A.Đa thức PA (λ ) = det( A − λ I ) gọi là đa thức đặc trưng của A.Vậy λ là trị riêng khi và chỉ khi λ là nghiệm của phươngtrình đặc trưng. Trị riêng, véctơ riêng của ma trận-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.Bước 1. Lập phương trình đặc trưng A − λ I ) = 0. det((Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theoλ )Bước 2. Giải phư ...