Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tuyến tính, các khái niệm cơ bản, hệ phương trình crame, phương pháp gauss,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồmm phương trình n ẩn có dạng: a11x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n b2 ... ... ... ... ...a m1x1x là abiến, m 2 x2 ... a mn x n bm j aij được gọi là hệ số (của ẩn) bi: được gọi là hệ số tự do 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 1 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2. Ma trận các hệ số của phương trình: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: x1 b1 x2 T b2 TX x1 x 2 ... x n B b1 b 2 ... b m ... ... xn bmHệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 2 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN4. Ma trận bổ sung: a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a 2n b 2A ... ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn b m1.2. Nghiệm:• Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,…cn) thoảhệ phương trình (1).• Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, vàđược gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.• Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợpnghiệm của chúng là trùng nhau. 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 3 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm:• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trìnhtuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận Abằng hạng của ma trận bổ sung .1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: ax1 x 2 x3 1 x1 ax 2 x3 1 x1 x 2 ax 3 1 a 1 1 A 1 a 1 a 3 3a 2 (a 1) 2 (a 2) 1 1 a 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 4 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phươngtrình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trậnhệ số khác không.2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duynhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: det(A j ) xj det(A )Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ jbằng cột các phần tử tự do. 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 5 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình: x1 2x 3 6 3x1 4x 2 6x 3 30 x1 2x 2 3x 3 8 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 6 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩnkhác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không. Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổsung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng matrận bậc thang. a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a 2n b 2A ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn b m 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 7 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 x1 4x 2 3x 3 4 3x1 x2 2x 3 2 4 x1 11x 2 7x3 73.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:3.3.1. Định nghĩa: a11x1 a12 x 2 ... a1n x n 0 0 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n 0 0 X 0 0 ... 0 T ... ... ... ... ...a x1 a x 2 ... a mn x n 0 0 m1 m2 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 8 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:3.3.1. Định nghĩa:a11x1 a12 x 2 ... a1n x n 0a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n 0 ... ... ... ...a m1x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0 0 0Hệ luôn có nghiệm tầm thường X 0 0 ... 0 T ... 0 05/31/18 Hệ phương trình tuyến tính 9 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuầnnhất:Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệmtầm thường.Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyếntính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số.3.3.3. Ví dụ: x1 2x 2 4x 3 3x 4 03x1 5x 2 6x 3 4x 4 04x1 5x 2 2x 3 3x 3 03x1 8x 2 24 x 3 19 ...