Bài giảng toán kinh tế - Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN

Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xiÎ R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu làRn.Rn
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng toán kinh tế - Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN Bài giảng toàn kinh tế Chương3.HÀMNHIỀUBIẾN ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢNKhông gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi∈ R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu làRn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) ∈ Rn: n ∑ (x d ( x, y ) = − yi ) 2 i i =1Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ó xi = yi, ∀I ó x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)Lân cận: Cho x0∈Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x ∈ Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cậncủa x0.Điểm trong: Điểm x0∈Rn được gọi là điểm trong của D ⊂ Rn nếu D chứa một lân cận củax0Điểm biên: Điểm x0 ∈ Rn được gọi là điểm biên của D ⊂ Rn nếu mọi lân cận của x0 đềuchứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biêncủa DTập đóng: Nếu biên của D thuộc D.Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.Hàm 2 biến: D ⊂ R2, một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: • D: miền xác định • f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trịVí dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = 1 − x2 − y2 z = ln(x + y -1)Hàm n biến: D ⊂ Rn, một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1 , x2 ,...xn )  z = f ( x1 , x2 ,...xn ) ξ 2.GIỚIHẠNVÀTÍNHLIÊNTỤCCỦAHÀMSỐGiới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tạiM0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu: ∀ε > 0, δ∃ > 0: d(M,M0) < δ => | f(M) – L| < ε d(M, M 0 ) = (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 Nguồn: nguyenngoclam.com 1 Bài giảng toàn kinh tế lim f ( M ) = L f ( x, y ) = L lim f ( x, y ) = L lim M →M 0 ( x , y )→( x0 , y0 ) x → x0 y → y0 Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng • cho hàm số nhiều biến.Ví dụ: xy sin( x 2 + y 2 ) lim lim x2 + y 2 x + y2 2 ( x , y )→( 0 , 0 ) ( x , y )→( 0 , 0 )Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) lim ( x , y )→( x0 , y0 )Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên DTương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) ξ 3. ĐẠO HÀM RIÊNGĐịnh nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) ∈ D. Nếu cho y = y0 làhằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đốivới x tại M0. Ký hiệu: ∂f ∂z f x ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) ∂x ∂xĐặt ∆ xf = f(x0 + ∆ x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. ∆f f x = lim x ∆x→0 ∆xTương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. ∆f f y = lim y ∆y →0 ∆yTương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥ 3).Ví dụ ...