Bài giảng Toán kinh tế: Chương 4 - Nguyễn Ngọc Lam

Sau khi học xong chương 4 Đạo hàm – vi phân nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: định nghĩa đạo hàm một biến, đạo hàm một phía, đạo hàm trên khoảng, đoạn, đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 4 - Nguyễn Ngọc Lam C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0  (a,b).Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: f (x )  f ( x 0 ) f ( x 0 )  lim x  x0 x  x0Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0 y dy df y  lim , x  0  x dx dx 87 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm một phía:  f (x 0 )- Đạo hàm bên phải: f (x 0 )  lim x  0   x  f (x 0 )- Đạo hàm bên trái: f ( x 0 )  lim x 0  xĐịnh lý: f’(x0) tồn tại f’(x0+) = f’(x0-)Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 88 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm trên khoảng, đoạn:- f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trong khoảng đó,- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tạimọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a vàđạo hàm trái tại bVí dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinxÝ nghĩa của đạo hàm:• Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0• Đường cong liên tục• Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị 89 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:• (u + v)’ = u’ + v’• (u.v)’ = u’v + v’u u  u v  v u•     (v  0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số) v v2Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinxĐạo hàm của hàm số hợp:Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàmtại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’xVí dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của hàm số ngược:Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm sốngược -1(y) thì: (f 1)  1x=f y fxVí dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 91 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN (c)’ = 0 1Đạo hàm (log a x ) các hàm số (x )’ = x-1 x ln a 1sơ cấp cơ (ax)’ = axlna (ln x )  xbản: (ex)’ = ex 1 (arcsin x )  (sinx)’ = cosx 1  x2 (cosx)’ = -sinx 1 (arccos x )   ( tgx )  1 1 x2 cos 2 x 1 ( arctgx )  1 1  x2 (cot gx )   1 sin 2 x ( arc cot gx )   1  x2Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) 92 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi làđạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọilà đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2 f 2 , dx dx 2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạohàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dnf n , dx dxn 93 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNVí dụ: Tìm đạo hàm cấp n:1. y = ex2. y = ax3. y = lnx4. y = xMột vài công thức: (n) y  sin x  y  sin( x  n ) 2 (n) y  cos x  y  cos( x  n ) 2 94 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂNCông thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đóta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv )(n )   Ck u(n  k ) .v (k ) trong đó u(0) = u, v(0) = v n ...