Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức

Cùng tìm hiểu chuỗi hàm phức; chuỗi hàm phức hội tụ đều; chuỗi lũy thừa; chuỗi Taylor; chuỗi Laurent được trình bày cụ thể trong "Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức". Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phứcToán kỹ thuậtI. Giải tích FourierII. Phép biến đổi LaplaceIII.Hàm phức và ứng dụngHàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác3. Chuỗi hàm phức  a. Chuỗi hàm phức  b. Chuỗi hàm phức hội tụ đều  c. Chuỗi lũy thừa  d. Chuỗi Taylor  e. Chuỗi Laurent 3. Chuỗi hàm phứca. Chuỗi hàm phứcĐịnh nghĩa:  f n 1 n ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ...Tổng riêng: n Sn ( z )   f k ( z ) k 1Hội tụ về S(z)    0, N ( , z ) : S ( z )  S n ( z )   , n  NMiền hội tụ: tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ. 3. Chuỗi hàm phứca. Chuỗi hàm phức- Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi:   n 1 f n ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ...hội tụ.- Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thựcvà phần ảo:    Re  f n ( z );  Im  f n ( z) n 1 n 1hội tụ. 3. Chuỗi hàm phứca. Chuỗi hàm phứcTiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn: f n 1 ( z ) lim  r ( z) n  f ( z ) n0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối|r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ|r(z)| = 1: không có kết luậnVí dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1  1  z  z 2  ...  z n  ... 1 z 3. Chuỗi hàm phứca. Chuỗi hàm phứcChuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều vềhàm f(z) trong miền D nếu:   0; N ( ) : f ( z )  S n ( z )   ; n  N , z  DPhép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương{Mn} sao cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi ?? hộitụ thì chuỗi ?? hội tụ đều trong D.Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu. 3. Chuỗi hàm phứcb. Chuỗi lũy thừaChuỗi lũy thừa có dạng:   n a n 1 ( z  a ) nMiền hội tụ: |z – a| < R = 1/LVới L  lim an 1 n  a nVí dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:   1 z 2n a.   z  2 j  b.  n n 1 ( n  1)2 n n 1 n !   1 c.  e  nz d. n 1 n 1 ( n  j ) z n 3. Chuỗi hàm phứcb. Chuỗi lũy thừaGiải:a. Hội tụ với mọi zb. Đặt w = z2, hội tụ với |w| < 2 => |z| < 2c. Đặt w = e-z, hội tụ với |w| < 1 => x > 0.d. Đặt w = z-1, hội tụ với |w| < 1 => |z| > 1. 3. Chuỗi hàm phứcb. Chuỗi lũy thừaVí dụ: Cho chuỗi sau: 1  1  z  z 2  ...  z n  ... 1 zChuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm 1 z 3thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau:i. |z| < 3ii. |z| > 3iii. |z – 2| < 1 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: 1 1 1 1 1 i.     |z| < 3  |w| < 1 z 3 3 1 z 3 1 w 3  2 n    1  w  w  ...  w  ...   1    ...  n  ...  1 1 1 z z z 2 n z 3 3 3 3 9 3  1 1 1 1 1 ii.   |z| > 3  |w| < 1 z  3 z 1 3 z 1 w z  n   1 1 z 3 z  2 n  1 3 z z z 9 3  1  w  w  ...  w  ...  1   2  ...  n  ...  z  3. Chuỗi hàm phứcb. Chuỗi lũy thừaGiải: 1 1 1 ...