Bài giảng toán thống kê -Trường đại học nông lâm Huế

Ví dụ 1.1:a. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số được thànhlập từ 5 chữ số này?b. Một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 50 câu, mỗi câu có 5 phương án trảlời. Hỏi bài thi có tất cả bao nhiêu phương án trả lời?a. Mỗi số tự nhiên gồm 8 chữ số được thành lập từ 5 chữ số này là một chỉnhhợp 5 chập 8.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng toán thống kê -Trường đại học nông lâm Huế TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM HUẾDỰ ÁN HỢP TÁC VIỆT NAM – H À LAN BÀI GIẢNG TOÁN THỐNG K ÊNgười biê n soạn: Trần Thị Diệu Trang Huế, 08/2009 C ÁC KHÁI NIỆM C Ơ B ẢN VỀ XÁC SUẤT BÀI 1:1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP1.1.1. Qui tắc nhân:  Cho hai tập hợp A và B. Tích Descartes c ủa A và B, ký hiệu là A  B là tậphợp tất cả các cặp (có thứ tự) (a; b) với a  A, b  B, nghĩa là: A  B = {(a, b) / a  A; b  B} Nếu A và B là hai tập hữu hạn thì số phần tử của tập hợp A  B là A  B = A.B.  Tương tự, t ích Descartes c ủa k tập hợp A1 , A2 , . . ., Ak, ký hiệu là A1  A2  . ..  Ak là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự (a1 , a2 , . . ., ak) trong đó ai  Ai, mọi i = 1, 2,. . ., k . A1  A2  . . .  Ak = {(a1 , a2 , . . ., ak) / ai  Ai, i = 1, 2, . . ., k } Nếu A1 , A2 , . . ., Ak là k tập hữu hạn thì số phần tử của tập hợp A1  A2  . . . Ak là A1  A2  ...  Ak = A1  A2  . . .  Ak . Ký hiệu Ak = A  A  . . .  A. k lần1.1.2. Chỉnh hợp lặp n chập k: Cho A là một tập hợp có n p hần tử, mỗi phần tử ( a1, a2 ,..., ak )  Ak được gọi làmột chỉnh hợp lặp n c hập k . Số các chỉnh hợp lặp n c hập k là Fnk = nkVí dụ 1.1: a. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số được thành lập từ 5 chữ số này? b. Một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 50 câu, mỗi câu có 5 phương án trả lời. Hỏi bài thi có t ất cả bao nhiêu phương án trả lời? a. Mỗi số tự nhiên gồm 8 chữ số được thành lập từ 5 chữ số này là một chỉnhhợp 5 chập 8. Số các số tạo thành: F58  58 b. Mỗi phương án trả lời bài thi là một chỉnh hợp lặp 5 c hập 50, nên số cácphương án trả lời bài thi đó là F550 =550 .1.1.3. Chỉnh hợp không lặp n chập k: Mỗi phần tử của Ak có thành phần đôi một khác nhau được gọi là một chỉnh hợpn chập k (k  n). Số các chỉnh hợp không lặp n c hập k là n! Α k = n(n - 1). . .(n – k + 1) = n ( n  k )! Quy ước: 0! = 1.Ví dụ 1.2. C ho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6,7. Hỏi 1 a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 c hữ số được thành lập từ 6 chữ số này? b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 c hữ số k hác nhau được thành lập từ 6 chữ số này? c. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 đượcthành lập từ 6 chữ số này? a. Mỗ i số gồm 3 chữ số thành lập từ 6 chữ số này là một chỉnh hợp lặp 6 c hập 3.Vậy, số các số gồm 3 chữ số lập từ 6 chữ số này là F6 = 63 = 216. 3 b. Số các số có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số này là số các c hỉnh hợp 6!6 chập 3 là A 3 = = 4.5.6 = 120. 6 3! c. Số chia hết cho 5 được thành lập từ 6 chữ số này phải có tận c ùng là chữ số 5.Do đó, mỗi cách thành lập một số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là mộtcách thành lập một số có 2 chữ số khác nhau từ 5 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 6, 7. Vậy, số các số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 thành lập từ 6 chữ số này 5!là A 2 = = 20. 5 3!Ví dụ 1.3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 sinh viên vào một phòng học có 25 ghế? Số cách s ắp xếp là số chỉnh hợp 25 c hập 20, A 20  25  24  23  22  21 . 251.1.4. Hoán vị Một chỉnh hợp k hông lặp n c hập n được gọi là một hoán vị của n p hần tử. Số các hoán vị c ủa n p hần tử là n = A n = n! nVí dụ 1.4. a. Một bàn gồm 5 s inh viên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 s inhviên đó? b. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nam và 4 nữ thành một hàng ngang sao cho namvà nữ đứng xen kẽ nhau? a. Số cách s ắp xếp là số hoán vị của 5 p hần tử,  5 = 5! = 120. b. Để 3 nam và 4 nữ đứng xen kẽ nhau thì bắt đầu của hàng ngang đó phải là nữvà chỉ có 1 cách sắp xếp vị trí như vậy: Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Trong đó, số cách sắp xếp vị trí cho 3 nam là  3 = 3! và số cách sắp xếp vị trícho 4 nữ là  4 = 4!. Vậy, có tất cả 3!.4! = 144 cách sắp xếp vị trí cho 3 nam và 4 nữ.1.1.5. Tổ hợp Mỗi tập con gồm k p hần tử của một tập hợp gồm n p hần tử được gọi là một tổhợp n c hập k (k  n). Ak n! k C= n= Số các tổ hợp n c hập k : n k !( n  k )! k!Nhận xét: a. Cn  Cn  1 ; C1  n . o n n 2 b. Cn k = Ck , k = 0, n . n n c. Ck 1 = Ck + Ck 1 , k = 1, n (Hằng đẳng thức Pascal). n n n Hai tổ hợp khác nhau khi có ít nhất một phần tử khác nhau. Tổ hợp khác chỉnhhợp ở việc không lưu ý đến thứ tự sắp xếp của các phần tử.Ví dụ 1.5. a. Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trong 25 câu hỏi cho trước. Hỏi có thể lập đượcbao nhiêu đề thi khác nhau? b. Một đa giác lồi có n cạnh thì có bao nhiêu đư ờng chéo?Giải: 25! 25.24.23 a. Số đề thi có thể lập nên là C3 = = = 2300. 25 3!22! 1.2.3 b. Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 đ ỉnh của đa giác lồi n đ ỉnh chính bằng số tổ hợp n c hập 2, tức là C2 . n Do đó, số đường chéo của đa giác là C2 - n. n1.1.6. Nhị thức N ...