Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân

Nội dung Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân trình bày độ đo dương - hàm số đo được, trong đó có phần ôn tập lý thuyết và bài tập áp dụng giúp người học hiểu rõ hơn về nội dung bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ——————– ∞ ∞ ∞ ——————– LÝ THUYẾT ĐỘ ĐOsit l ìn VÀ om er ai h iv gm T y .c Un 1@ ích TÍCH PHÂN on n14 - B i G oa ng Sa pt Tra BÀI GIẢNG TÓM TẮT lo u ThSinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Bích Thìn Trần Thị Thu TrangGiảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Tuấn Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015 1 CHƯƠNG I ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC ∗Nhắc lại về cơ sởB⊂P(X) S nói B là một cơ sở tôpô trên XTa B=XB∈BNếu B1 , B2 ∈B , B1 ∩ B2 6=∅∀x∈ B1 ∩ B2 , ∃ B3 ∈ Bx∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 ∗Ví dụ:nCho X={a,b,c,d} oCơ sở B= {a},{b},{c,d} n oXây dựng tôpô T = {a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d} n oCơ sở con C= {a,b},{b,c,d} n oCơ sở B= {b},{a,b},{b,c,d} sit l ìn n omTôpô T = ∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d} o er ai h iv gm T y .c ∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được. Un 1@ íchGiao 2 tập hữu hạn là hữu hạn.Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được. on n14 - BHợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được.Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được.Q,Z,N là tập đếm được. i G oa ngR là tập không đếm được.Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được. Sa pt TraTập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được. FĐỊNH NGHĨA: lo u[-∞,∞]=R∪{-∞,∞} Th(-∞,∞]=R∪{∞}[-∞,∞)=R∪{-∞}a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞)a-∞=-∞+a=-∞ ∀a∈(-∞,∞)a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞)a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞)a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0)a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0) FĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X6=0,ta nói M là một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M ii)XA∈M ∀A∈M(với XA=Ac :phần bù của M) ∞ S iii) An ∈M ∀{An }n∈N ⊂M n=1 ∗Ví n dụ:X={a,b,c,d} oM= ∅,X,{a},{b,c,d} 2 ♣BÀI TẬP:1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ?cm: 3 điều kiện2Cho M là σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan.cm:{An }n∈N ⊂M ∞ S→ An ∈M n=1 ∞ SX An ∈M n=1∞ Ac n ∈MTn=1B1 ,...,Bn ,...∈MBc 1 ,Bc 2 ,...,Bc n ,...∈M∞ (Bc n )c ∈MTn=1 ∞ T Bn ∈Mn=1 FĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số M trên X ta nói X làmột không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được. sit l ìn om FĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và µ là một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta er ai hnói µ là một độ đo dương nếu: iv gm T y .c ∞ S∗∀{An }n∈N ⊂M, Ai ∩Aj =∅ ∀i,j Ta có µ( An )=Σµ(A n ) Un 1@ ích n=1∗∃B∈M, µ(B) ∞ S=⇒ An =∅∈{∅,X} n=1∗M=P(X)={A:A⊂X} là σ- đại số trong Xi)X∈P(X)(Vì X⊂X)ii)A∈P(X) Ta chứng minh XA∈ P(X)A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒XA⊂X=⇒XA∈P(X) ∞ Siii)∀{An }⊂P(X) Ta chứng minh An ∈P(X) n=1Ta có:An ⊂X , ∀n ∈N ∞ S ∞ S=⇒ An ⊂X=⇒ An ∈P(X) n=1 n=1∗X6=∅=⇒∃a∈X n oXét M= ∅,{a},X{a},Xi)X∈M(hiển nhiên)ii)A∈M  A = ∅ ⇒ XA = X ∈ M A = {a} =⇒ XA = X{a} ∈ M=⇒ A = X{a} =⇒ XA = {a} ∈ M A = X =⇒ XA = ∅ ∈ MVậy XA∈ M sit l ìniii)∀{An }n∈N ⊂ M om er ai h ∞ A1 = {a} iv gm T S y .c An = X nếu ∃Ai0 = X hayn=1 A2 = X = {a} ∞ Un 1@ ích S An = ∅ nếu An = ∅ ∀n ∈ Nn=1 ∞ An 6= X∀Ai0 = {a} on n14 - B S An = ∅ nếun=1 An6= X{an } ∞ S An 6= X An = X{a} nếu i G oa ngn=1 An 6= {a}∃Ai0 = X{a} Sa pt Tra 2.2Cho B là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M lo utrong X sao cho B ⊂ M. ThGọi F là họ T tất cả các σ- đại số trên X chứa BĐặt T = F ⊂ P (X) F ∈FCần chứng minh T là σ đại số.∗ Kiểm tra X ∈ T : T ,∀F ∈ FTa có: X∈F=⇒X ∈ F=T F ∈F∗ Kiểm tra ∀A ∈ T ,Ac ∈ TLấy A ∈ T tùy ýTa có A ∈ F,∀F ∈ FVì F là một σ- đại số nên Ac ∈ F ,∀F ∈ F=⇒ Ac ∈ T F= T F ∈F∗ Kiểm traTý thứ 3:∀{An } ⊂ F (F là σ đại số chứa B) F ∈F=⇒ {An } ⊂ F, ∀F ∈ F 4 ∞ S=⇒ An ∈ F (vì F là σ đại số trong X) ∀F ∈ F n=1∗ Tìm một σ- đại số nhỏ nhất .Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B=⇒ GT∈ F=⇒ F ⊂G F ∈FVậy T ∈ GVậy T là σ- đại số nhỏ nhất. 2.3giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R 2.4Xác định các σ- đại số M trong tập hợp các số nguyên dương N sao cho {n} ∈ M với mọi n∈ N.Giải:Ta chứng minh : M = P (N) = 2N∗M ⊂ P (N), ∀B ∈ M =⇒ B ⊂ N =⇒ B ...