Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2018)

Bài giảng "Toán cao cấp C1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2018)11/1/2018Chương 4:Tích phânGV. Phan Trung Hiếu§1. Nguyên hàm§1. Nguyên hàm§2. Tích phân xác định§3. Các phương pháp tính tích phânLOG§4. Tích phân suyrộngO tích phân trong kinh tế§5. Ứng dụng củaI. Nguyên hàm:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trênkhoảng D.Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D F ( x )  f ( x ), x  D.Ví dụ 1.1:2Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếuF(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thìF(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trênD. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên Dđều có dạng F(x) + C. x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x. x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x . x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của2x, vì ( x 2  C )  2 x.3II. Tích phân bất định:Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàmsố f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tấtcả các nguyên hàm của f trên D.Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f đượcký hiệu là4Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định làhai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x. f ( x )dx ,trong đó : dấu tích phân.x : biến lấy tích phân.f ( x ) : hàm lấy tích phân.f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.56111/1/2018III. Tính chất:IV. Bảng công thức tích phân cơ bản:  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.   f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.Xem Bảng 3.  f ( x )dx  f ( x )  C.  f ( x)dx   f ( x ).78I. Công thức Newton-Leibniz:§2. Tích phân xác địnhĐịnh lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) làmột nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tíchphân xác định của f từ a đến b làb f ( x)dx  F ( x)ba F (b )  F ( a )a910II. Tính chất:a f ( x )dx  0aab  f ( x )dx   f ( x )dxbbabababb§3. Các phương pháptính tích phân  f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dxabvới k là hằng số k. f ( x )dx  k. f ( x )dxaacabf ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dxacb f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x)dx  0.a1112211/1/2018I. Phương pháp đổi biến số loại 1:Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợpsao cho t   biểu thức còn lại trong hàm số.Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổihàm số.Tích phân dạng: I   f u ( x)  u ( x) dxBước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x )  dt  u( x ) dxBước 2 (thay vào tích phân):I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x )  C13Tích phân dạng:14bI   f  u ( x)  u ( x )dxDấu hiệu đổi biến thường gặp:aBước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dxabBước 2 (đổi cận): xt u(a) u(b)Bước 3 (thay vào tích phân):CóĐặt(u(x))nt  u(x)ln x vàu (b)I1xf (t ) dtu(a)t = căncănt  e x  ,   conste x và1x1x2t  ln xt1x(cận mới, biến mới).15DạngĐặt1có tan x vàcos 2 x1có cot x vàsin 2 x1có arcsinx vàcó arccosx và16t = tanxt = cotxt = arcsinx1 x 21t = arccosx1 x 217DạngĐặt11 x 21có arccotx và1 x 2t = arctanxcó arctanx vàt = arccotx f (sin x)cosx dxt  sin x f (cos x)sinx dxt  cos x18311/1/2018t  cos xf đổi dấuf đổi dấusin x   sin xThay  cos x   cos xt  sin xf không đổi dấut  tanTổng quátx20x 1 xe) g)e dxex  11x21/24i)f)1sin 2   dxx arccos x1 x2l )  e2sin x cos xdx0267m)  (1  cos3x)sin3xdx5n)  sin x cos xdx0p) sin(2 x  1)dxcos2 (2 x  1)sin 2 xdxcos 6 xr) dx3cos x  4sin x  524x  4x  5sin xu) x cos3dxx212a  u ( x)u 2 ( x)  a 23 32Đặt   u ( x)  a sin t , t   ;  2 2u 2 ( x )  a 2 u ( x) sin x  cos xdxsin x  cos x22v )  4x  2 e x x dx0Ví dụ 3.2. Tínha)  x 1  xdxPhương pháp (đổi biến):Đặt x  u (t )  dx  u ( t )dtDấu hiệu đặt thông thường:2t) 22II. Phương pháp đổi biến số loại 2Cój )  tan 2 x  tan 4 x dxdxs) 0o)  cos2 x tan 3 xdxq) x)202dx2x 3dxx 11h) e tan xdx2x19k)dx x (2  ln3 cos04 xdxxd) 2x1t  tan xb)  x 3 1 x 2 dxdxc) 1Thay cos x   cos x1a )  (x 3  x )5 (3x 2  1)dx4Thay sin x   sin x f (sin x, cos x)dxVí dụ 3.1. TínhĐặtDạngc)0b) dxx2x2  1, x 1x3dx(4 x 2  9)3/2 t  0;  nếu u ( x)  a 2 3 t   ;  nếu u ( x)   a 2 a,sin t   u ( x)  a tan t , t  ;  2 22324411/1/2018III. Tích phân hàm hữu tỉ:P( x ) Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức.Phương pháp:Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức.Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì talàm như sa ...