Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 3

Tham khảo tài liệu bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 3, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 3Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ng th c sau v i m i s t nhiên n > 1Ví d 5 : Ch ng minh b t n n nn n n1+ + 1− 0 Ch ng minh r ng:x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) ≥ xy(x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx (z 2 + x 2 ) .Không m t tính t ng quát ta gi s : x ≥ y ≥ z > 0 .Xét hàm s f (x ) = x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) − xy(x 2 + y 2 ) − yz (y 2 + z 2 ) − zx (z 2 + x 2 ) Ta cóf (x ) = 4x 3 − 3x 2 (y + z ) + xyz + yz (x + y + z ) − (y 3 + z 3 )⇒ f (x ) = 12x 2 − 6x (y + z ) + 2yzNguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu⇒ f (x ) > 0 (do x ≥ y ≥ z ) ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = z 2y − z 3 = z 2 (y − z ) ≥ 0 nên f (x ) là hàm s ngbi n. ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = z 4 − 2z 3y + y 2z 2 = z 2 (z − y )2 ≥ 0 ⇒ pcm.Ví d 7: 3 a b c1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥. a +b b +c c +a 2 Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng:2. (c − a )2 2a 2b 2c + + ≤3+ .b +c c +a a +b a(c + a ) Gi i : 3 a b c1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥ a +b b +c c +a 2 1 1 1 3 b c a t x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 và b t ng th c ã cho ⇔ + + ≥. 1+x 1+y 1+z 2 a b c 1 1 2 2z + ≥ =Gi s z ≤ 1 ⇒ xy ≥ 1 nên có: 1 + x 1 + y 1 + xy 1 + z 1 1 1 2z 1 2t 1⇒ + + ≥ + = + = f (t ) v i t = z ≤ 1 1 + x 1 + y 1 + z 1 + z 1 + z 1 + t 1 + t2 2(1 − t ) 2 2tTa có: f (t ) = − ≤ ≤0 (1 + t )2 (1 + t 2 )2 (1 + t 2 )2 3⇒ f (t ) ≥ f (1) = , ∀t ≤ 1 ⇒ pcm. 2 (c − a )2 2a 2b 2c + + ≤3+2. Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng: b +c c +a a +b a(c + a ) b c = α , = x ,1 ≤ α ≤ x . Khi ó b t t ng th c c n ch ng minh tr thành a a x2 + x + 4 2α 2 2x + + ≤α +x 1+x 1+α x +1 x +1 2x (x + 1)⇔ x 2 + x + 1 ≥ (2 + 2α + ) α +x 1+α x +1 2x (x + 1)Xét hàm s f (x ) = x 2 + x + 1 − (2 + 2α + 1≤α ≤x ), α +x 1+α α −1 2(2x + 1)Ta có: f (x ) = 2x + 1 − −2 α +1 (x + α )2Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  2x +1  2f (x ) = (α − 1)  1≤α ≤x −  ≥ 0,  α +1 (x + α )2    1 ng bi n do ó f (x ) ≥ f (α ) = α 2 − 3α + 3 −Như v y hàm f (x ) là α 1 1 1Nhưng f (α ) = 2α − 3 + =α +α + − 3 ≥ 3 3 α .α . −3=0 2 2 α2 α α⇒ f (x ) ≥ f (α ) ≥ f (1) = 0 ⇒ pcm. BÀI T P T LUY N ()1. Cho hàm s f x = 2 sin x + t a n x − 3x  πa ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên n a kho ng 0;  .  2  πb) Ch ng minh r ng 2 sin x + t a n x > 3x v ...