Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 5

Tham khảo tài liệu bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 5, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 5Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  (x , y ∈ »)1.  x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  t u = x − 1, v = y − 1  2 v u + u + 1 = 3(I ) vi t l i  (II ) v + v 2 + 1 = 3u  () ()Xét hàm s : f x = x + x 2 + 1 và g x = 3x liên t c ∀x ∈ » , ta có x +x x2 + 1 + x () () x ng bi n ∀x ∈ » . ≥ 0, ∀x ∈ » ⇒ f xf x =1+ = > 2 2 2 x +1 x +1 x +1 ()g x = 3x ng bi n ∀x ∈ » . () ()  2 vu + u + 1 = 3 f u = g v () () () () ⇔ ⇒ f u + f v =g u +g v () () f v = g uv + v 2 + 1 = 3u  () () () ()N u u > u ⇒ f u > f v ⇒ g v > g u ⇒ v > u vô lý .Tương t n u v > u cũng d n n vô lý   u + u 2 + 1 = 3u 1 = 3u ( u 2 + 1 − u ) (1) () ⇔ ⇔ IIDo ó h u = v u = v   () t: g u = 3u ( u 2 + 1 − u ) liên t c ∀u ∈ » . u Ta có g (u ) = 3u ln 3( u 2 + 1 − u ) + 3u  − 1 2   u +1     1g (u ) = 3u  u 2 + 1 − u   ln 3 −  > 0, ∀u ∈ »    2 u +1  ( ) ng bi n ∀u ∈ » và g ( 0 ) = 1 ⇒ u = 0 là nghi m duy nh t c a (1) .Do ó g uNên ( II ) ⇔ u = v = 0 . V y (I ) ⇔ x = y = 1 (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1)2.  3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)   t t  1  +  4   = 1 + 2.2t  (*) t t = 2x − y . Khi ó phương trình (1) tr thành: 5    5   5    Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  t t  1  +  4   , g t = 1 + 2.2t () ()Xét f t = 5      5   5      t t  1  +  4   là hàm ngh ch bi n và g t = 1 + 2.2t () ()D th y : f t = 5     là hàm ng bi n  5   5     () () ()và f 1 = g 1 = 5 ⇒ t = 1 là m t nghi m c a * . () ()Ta c n ch ng minh t = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình f t = g tTh t v y : () () ()• t > 1 ⇒ f t < g t ⇒ t > 1 không là nghi m phương trình * .• t < 1 ⇒ f (t ) > g (t ) ⇒ t < 1 không là nghi m phương trình ( * ) . (*) có nghi m duy nh t t = 1 .Vy ()t = 1 ⇔ 2x − y = 1 ⇔ 2x = y + 1 khi ó: (2) ⇔ y 3 + 2y + 3 + ln(y 2 + y + 1) = 0 * *Xét hàm s f (y ) = y 3 + 2y + 3 + ln(y 2 + y + 1) . 2 2y + 1 2y + 4y + 3 2 2 ...