Bài giảng về ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng về ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ch¬ng 5 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh5.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnhA. Tãm t¾t lý thuyÕt1. §Þnh nghÜa: Cho E vµ F lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnhtrªn cïng mét trêng K. ¸nh x¹ f: E → F ®îc gäi lµ ¸nh x¹tuyÕn tÝnh, mét ®ång cÊu hay mét to¸n tö tuyÕn tÝnhnÕu: (i) ∀x,y∈E: f(x+y)=f(x)+f(y) (ii) ∀x∈E vµ ∀t∈K : f(tx)=tf(x)hoÆc (iii) ∀x,y∈E, ∀t,s∈K: f(tx+sy)=tf(x)+sf(y)• f: E→E gäi lµ tù ®ång cÊu hay phÐp biÕn ®æi tuyÕntÝnh trªn E.• f: E→K gäi lµ d¹ng tuyÕn tÝnh, hoÆc phiÕm hµm tuyÕntÝnh.2. C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f: E → F vµ g: E → F PhÐp céng: (f+g)x=f(x)+g(x) PhÐp nh©n víi mét sè: (λf)x=λf(x) TÝch cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Cho f: E→E1, g: E1→F khi ®ã (gof)(x)=g(f(x)) Tæng c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, tÝch mét sè víi mét ¸nh x¹tuyÕn tÝnh, vµ tÝch c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ®Òu lµ c¸c ¸nhx¹ tuyÕn tÝnh.3. Ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Cho I={e1,e2,...,en} lµ mét c¬ së trong E, W={ξ1,ξ2,.., ξm}lµ mét c¬ së trong F vµ f: E →F lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa: Ma trËn 177  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2 n  A=  ...     am1 am2 ... amn cña hÖ { f(e1),f(e2),...,f(en) } trªn c¬ së W gäi lµ ma trËncña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f trªn {I,W}. Ma trËn cña tù ®ång cÊu f:E →E trªn c¬ së {I,I} lµ matrËn vu«ng. Chó ý: Khi thay ®æi c¬ së {I,W} ma trËn cña f sÏ thay®æi.4. BiÓu thøc d¹ng ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh §Þnh lý: Cho E vµ F lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªncïng trêng K vµ dim(E)=n, dim(F)=m, khi ®ã trªn mçi cÆpc¬ së {I,W] mäi ¸nh x¹ f(x) ®Òu cã d¹ng: f(x)=A.xtrong ®ã A lµ ma trËn cña f trong c¬ së {I,W}. Ngîc l¹i mçi ma trËn A=(aij)m× n trªn c¬ së {I,W} x¸c ®Þnhduy nhÊt mét ¸nh x¹ f(x)=Ax mµ A lµ ma trËn cña f. HÖ qu¶ : NÕu A vµ B t¬ng øng lµ ma trËn cña c¸c ¸nhx¹ f vµ g khi ®ã: 1. Ma trËn cña f+g lµ A+B. 2. Ma trËn cña t.f lµ t.A. 3. Ma trËn cña gof lµ B.A.B. Bµi tËp 1. Trªn R,R2,R3. C¸c ¸nh x¹ sau cã ph¶i lµ ¸nh x¹ tuyÕntÝnh kh«ng a. f(x,y)= x b. f(x,y)= xy c. f(x,y)= x+y d. f(x,y)= x-y e. f(x,y)= a a lµ mét h»ng sè. f. f(x,y)= ax g. f(x,y)= ax+by h. f(x,y)=(2x,2y) i. f(x,y)= (2x,3y) j. f(x,y)= (y,x) k.f(x,y)=(x+1,y+1) l. f(x,y)= (x,y,x+y) m. f(x,y)= (x,y,a) 2. Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f: R3→R2 cã biÓu thøc: 178 f(x,y,.z)=(2x+y+z,x-z) a. T×m ma trËn cña f trªn c¬ së chÝnh t¾c cña R 3vµ R2. b. T×m ma trËn cña f trªn cÆp c¬ së:  1  0  0     3    1  1 e1=  0 e2=  1 e =  0 ∈R3 vµ ε1=   ε2=          0  1  0  0  1∈R2 3. Chøng tá c¸c ¸nh x¹ sau lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, t×m matrËn cña f trong c¬ së chÝnh t¾c, biÓu diÔn f díi d¹ng matrËn. a. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z) b. f(x,y,z)=2x-3y+5z c. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y) d. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y) e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y) 4.a. E=L[0,1]={x=x(t):x(t) hµm liªn tôc trªn [0,1]}. Chøngtá: 1 f: E→R: f(x)= ∫ x (t )dt 0lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. b. Trªn P3(t)}={x(t)= a0+a1t+a2t2+a3t3} t×m ma trËn cña 1phiÕm hµm tuyÕn tÝnh: f(x)= ∫ x (t )dt 0 trªn c¬ sëI={1,t,t2,t3}. 5. Chøng tá c¸c ¸nh x¹ a. f(a+bt+ct2)=(a+b)+(a-c)t+(b+2c)t2 b. f(a+bt+ct2)=a+c+(b-a)(1+t)+(a+b-c)(1+t)2lµ tù ®ång cÊu trªn P2(t)={x(t)=a0+a1t+a2t2} T×m ma trËn cña chóng trªn c¬ së {1,t,t 2} vµ trªn cÆpc¬ së I={1,t,t2} vµ W= {1,1+t,(1+t)2}. 1796. Chøng tá c¸c ¸nh x¹ sau lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, t×m matrËn cña chóng trªn c¸c cÆp c¬ së t¬ng øng. a. f(a+bt)=a+b+(a-b)(1+t)+(a+2b)(1+t)2 b. f(a+bt+ct2+dt3)=a-d+(b-c)(1+t)+(a+b+c+d)(1+t)2 c. f(a+bt+ct2)=c+(a+b)t+(a+c)t2+(b+c)t3 d. f(a+bt)=a-b+(a+b)t+(2a-3b)t3 e. f(a+bt+ct2+dt3)=a+b+c+(b+c+d)t 7. Cho  x y z  f: P3(t)={x(t)=a+bt+ct2+dt3}→ M2x3=  A =  u    v w   a b a + 2b x¸c ®Þnh bëi: f(a+bt+ct2+dt3)=  c   d c − 2d  Chøng tá f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. T×m ma trËn cña f. 8. Cho  x y z  f: P2(t)={x(t)=a+bt+ct2}→ M2x3=  A =  u    v w   a b a + 2b x¸c ®Þnh bëi: f(a+bt+ct2)=  c   a c − 2a  Chøng tá f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, t×m ma trËn cña f, biÓudiÔn f díi d¹ng ma trËn. 9. Cho  x y z  f: M2x3=  A =  u  → P3(t)={x(t)=a+bt+ct2}   v w    x y z x¸c ®Þnh bëi: f   ...