Bài giảng về Ma trận_ Định thức

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng về Ma trận_ Định thức 1Ch¬ng 2 Ma trËn_ §Þnh thøc2.1 Ma trËn1. Kh¸i niÖm vÒ ma trËn §Þnh nghÜa 2.1: Ma trËn cÊp m× n lµ mét b¶ng ch÷ nhËt gåm m.n sè trªn trêng K ®îcxÕp thµnh m hµng vµ n cét. Mçi ma trËn ®îc ký hiÖu bëi mét ch÷ c¸i in hoa. Ma trËn A ®îc ký hiÖu lµ  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  A=   (2_1) ...   a   m1 a m 2 ... a mn HoÆc: A= (aij)m× n (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_2) Trong ®ã aij lµ phÇn tö n»m trªn hµng thø i vµ cét thø j cña ma trËn A, i gäi lµ chØ sèhµng j gäi lµ chØ sè cét cña aij. NÕu m=n, A ®îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n, vµ ký hiÖu A=(a ij)nxn. Khi ®ã c¸c phÇn tön»m trªn ®êng chÐo tõ gãc trªn bªn tr¸i xuèng gãc díi bªn ph¶i: a11,a22,...,ann , gäi lµ c¸c phÇntö trªn ®êng chÐo chÝnh, c¸c phÇn tö n»m trªn ®êng chÐo tõ gãc trªn bªn ph¶i xuèng gãcdíi bªn tr¸i: a1n,a2n-1,...,an1 gäi lµ c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo phô. Ta gäi tæng c¸c phÇn tötrªn ®êng chÐo chÝnh lµ Vet(A), vËy: Vet(A)=a11+a22+...+ann VÝ dô 2.1: Ma trËn cÊp 3 × 4 thùc: 8 4 2 0    A=  4 10 5 4   2 5 6,5 4   Cã: a11=8 a12=4 a13=2 a14=0 a21=4 a22=10 a23=5 a24=4 a31=2 a32=5 a33=6,5a34=4 Ma trËn vu«ng cÊp 3 phøc: 1 + i 2 − 3i 1 − i    B=  − 12i i 2 + 2i     3 + 4i 9 + 2i 12 Cã Vet(B)=1+i+i+12=13+2i. Mét ma trËn mµ mäi phÇn tö ®Òu b»ng 0 gäi lµ ma trËn kh«ng, ký hiÖu lµ θ.  0 0 ... 0    0 0 ... 0 θ=   ...    0 0 ... 0 Mét ma trËn vu«ng cÊp n mµ c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 1 vµ mäiphÇn tö cßn l¹i ®Òu b»ng 0 gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, ký hiÖu lµ I  1 0 ... 0    0 1 ... 0 I=   ...    0 0 ... 12. C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn a. Hai ma trËn b»ng nhau Hai ma trËn A,B ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö t¬ng øngb»ng nhau, ký hiÖu A=B. Nh vËy: A=(aij)m× n=B=(bij)m× n⇔ aij=bij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_3) b. PhÐp céng ma trËn Cho hai ma trËn cïng cÊp A=(a ij)m× n vµ B=(bij)m× n, tæng cña A vµ B lµ mét ma trËn cïngcÊp C=(cij)m× n, ký hiÖu: C=A+B víi: cij=aij+bij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_4) Nh vËy muèn céng hai ma trËn cïng cÊp ta céng c¸c phÇn tö t¬ng øng cña hai ma trËnvíi nhau. C¸c tÝnh chÊt : Tõ tÝnh chÊt cña phÐp céng hai sè ta cã c¸c tÝnh chÊt sau cña phÐpcéng ma trËn 1. TÝnh giao ho¸n: A+B=B+A 2. TÝnh kÕt hîp: (A+B)+C=A+(B+C) 3. A+θ =θ +A=A c. PhÐp nh©n mét sè víi mét ma trËn TÝch cña mét sè k víi mét ma trËn A=(a ij)m× n lµ mét ma trËn C=(cij)m× n ,ký hiÖu C=k.A,víi: cij=k.aij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_5) Nh vËy muèn nh©n mét sè víi mét ma trËn ta nh©n sè ®ã víi mäi phÇn tö cña ma trËn. C¸c tÝnh chÊt: 1. TÝnh kÕt hîp: (k.t)A=k(t.A) 2. TÝnh ph©n bè víi phÐp céng ma trËn: k.(A+B)=k.A+k.B 3. TÝnh ph©n bè víi phÐp céng c¸c sè: (k+t).A=k.A+t.A d. PhÐp trõ ma trËn Ta gäi hiÖu cña hai ma trËn cïng cÊp A vµ B lµ mét ma trËn cïng cÊp C, ký hiÖu: C=A-B, víi: C=A+(-1).B (2_6) e. PhÐp nh©n ma trËn Ta gäi tÝch cña ma trËn A=(aik)m× n cÊp m× n víi ma trËn B=(bkj)n× p cÊp n× p lµ mét matrËn C=(cij)m× p cÊp m× p ký hiÖu: C=A.B mµ c¸c phÇn tö cij ®îc x¸c ®Þnh nh sau: n cij= ∑ aik bkj (i= 1, m ;j= 1, p ) (2_7) k =1Nh vËy cij b»ng tæng cña tÝch c¸c phÇn tö trªn hµng i cña ma trËn A víi c¸c phÇn tö t¬ngøng trªn cét j cña ma trËn B. Ma trËn C cã sè hµng b»ng sè hµng cña ma trËn A, cã sè cét b»ng sè cét cña ma trËnB. VÝ dô 2.2: Cho A vµ B lµ c¸c ma trËn:Chương 2 2 −1 2 1 2 3 4      0 1 a. A ...