Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 3 - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 3: Đạo hàm và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như các quy tắc của đạo hàm; đạo hàm hàm chuỗi; y nghĩa hình học; ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 3 - Vũ Đỗ Huy CườngGiảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 3 Đạo hàm và các ứng dụng Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 41 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1. Các quy tắc của đạo hàm 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f (x) theo biến x là hàm f như sau f (x + h) − f (x) df dy f (x) = lim = = =y. (13) h→0 h dx dx √ Ví dụ: Tìm đạo hàm của f (x) = x + 2. √ √ ( x + h + 2) − ( x + 2) f (x) = lim h→0 h √ √ x +h− x = lim h→0 h 1 1 = lim √ √ = √ . h→0 x +h+ x 2 x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 42 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Hàm số f (x) có đạo hàm tại x nếu và chỉ nếu nó có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải và các đạo hàm này bằng nhau: f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) lim = lim+ = f (x) (14) h→0− h h→0 h Hàm số f (x) được gọi là khả vi trên một miền mở nếu nó có đạo hàm tại tất cả các điểm trong miền này. Hàm số f (x) khả vi trên một miền đóng [a, b] nếu nó khả vi trên miền mở (a, b) và có đạo hàm bên phải tại điểm biên trái và có đạo hàm bên trái tại điểm biên phải. Nếu f có đạo hàm tại x, thì nó liên tục tại x. Nếu f liên tục tại x, nó có đạo hàm tại x không? Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 43 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Ví dụ: Chứng minh rằng f (x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Ta có |0 + h| − |0| f− (0) = lim = −1, h→0− h |0 + h| − |0| f+ (0) = lim+ = 1. h→0 h Do f− (0) = f+ (0) nên f (x) không có đạo hàm tại x = 0. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 44 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Bài tập: Dùng định nghĩa để tính các đạo hàm sau 1 1) f (x) = x 2 + 1 tại x = 1. 2) f (x) = tại x = 2. x −1 √ 3) f (x) = x + 3 tại x = 1. 4) f (x) = sin x tại x = π. Bài tập: Các hàm số sau đây có khả vi hay không? x, x < 0, x, x ≤ 1, 5) y = 6) y = −x, x ≥ 0. −x 2 + 2x, x > 1. x, x ≤ 0, 1 x 2 sin , x = 0, 7) y = 1 8) y = x , x > 0. 0, x = 0. x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 45 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.2. Qui tắc tính đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm (i). c = 0. (ii). x = 1. (iii). (cx) = c. (iv). (cu) = cu . (v). (x n ) = nx n−1 . (vi). (u n ) = nu u n−1 . (vii). (u + v) = u + v . (viii). (u − v) = u − v . u u v −v u (ix). = . (x). (uv) = u v + v u. v v2 Đạo hàm của một số hàm sơ cấp (xi). (sin u) = u cos u. (xii). (cos u) = −u sin u. u u (xiii). (tan u) = . (xiv). (cot u) = − 2 . cos2 u sin u (xv). (eu ) = u eu . (xvi). (au ) = u au ln a. u u (xvii). (ln u) = . (xviii). (loga u) = . u u ln a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 46 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.2. Qui tắc tính đạo hàm Bài tập: Tìm các đạo hàm sa ...