Giáo trình Vi tích phân 1

Giáo trình Vi tích phân 1 trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả năng tư duy chính xác và tính toán định lượng, cung cấp công cụ toán học cho các ngành khoa học kỹ thuật. Với các nội dung chính như Số thực và hàm số thực; hàm số liên tục; phép tính vi phân; ứng dụng của đạo hàm; phép tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Vi tích phân 1 Giáo trình Vi tích phân 1 Bộ môn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 6 tháng 10 năm 2022 Mục lục Giới thiệu 1 1 Số thực và Hàm số thực 4 1.1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tập hợp và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Tập hợp các số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Đồ thị. Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Hàm số liên tục 28 2.1 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Tiếp tuyến. Vận tốc. Tỉ lệ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Một số tính chất căn bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Các giới hạn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Phép tính vi phân 55 3.1 Đạo hàm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2 Tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Các công thức cho đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3 Đạo hàm của hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.5 Đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ii MỤC LỤC iii 4 Ứng dụng của đạo hàm 76 4.1 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.1 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . 79 4.1.2 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Đạo hàm và tính chất của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1 Tính tăng, giảm, và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.2 Tính lồi, lõm, và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.4 Qui tắc l’Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn . . . . . . . 95 5 Phép tính tích phân 108 5.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.1 Bài toán diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.3 Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Định lý Cơ bản của phép tính vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Một số phương pháp biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3.1 Phép đổi biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho các hàm đặc biệt . . 124 5.3.4 Sự tồn tại công thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3.5 Tính tích phân bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.6 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.4.1 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.4.2 Giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4.3 Một số ứng dụng trong khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4.4 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6 Chuỗi 148 6.1 Chuỗi số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.1.1 Sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.1.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.1.3 Chuỗi đ ...