Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số trình bày về giới hạn của hàm số tại một điểm; giới hạn hàm số tại vô cực; bài tập luyện tập.Mời các bạn tham khảo bài giảng để bổ sung thêm kiến thức về hàm số cũng như kiến thức về hàm số liên tục.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số B. Giíi h¹n cña hµm sè. Hµm sè liªn tôcBµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè ? B. Giíi h¹n cña hµm sè. Hµm sè liªn tôc Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm a. Giíi h¹n h÷u h¹n: XÐt bµi to¸n: 2 x 2 −8 f ( x) = Cho hµm sè x−2vµ mét d·y bÊt k× x1 , x2 ,..., xn ,... nh÷ng sè thùc kh¸c 2 (tøc xn ≠ 2lµ ∀ víi∈ * n N sao cho lim xn = 2 H·y x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),... cña hµm sè vµ tÝnh lim f ( xn )?1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓma. Giíi h¹n h÷u h¹n:Gi¶i :TX§: R { 2} 2( xn2 − 4)V× xn ≠ 2 nªn f ( xn ) = xn − 2 = 2( xn + 2) víi mäi n.Do ®ã: f ( x1 ) = 2( x1 + 2) ; f ( x2 ) = 2( x2 + 2) ;..., f ( xn ) = 2( xn + 2);...Ta cã: lim f ( xn ) = lim 2( xn + 2) = 2 lim( xn + 2) = 8 Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè§Þnh nghÜa 1:Gi¶ sö (a; b) lµ kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ f lµ mét hµmsè x¸c ®Þnh trªn (a; b) { x0 } . Ta nãi r»ng hµm sè f cãgiíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn tíi x0(hay t¹i ®iÓm x0 )nÕu víi mäi d·y sè ( xn ) trong tËp hîp (a; b) { x0 } (tøc lµ xn ∈ (a; b) vµ xn ≠ x0 víi mäi n) mµ lim xn = x0 ta ®Òu cã lim f ( xn ) = LKhi ®ã ta viÕt: hoÆc khi lim f ( x) = L f ( x) → L x → x0 x → x0Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1VÝ dô 1: T×m lim( x sin ) x →0 x ? Gi¶i Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1VÝ dô 1: T×m lim( x sin ) x →0 x 1Gi¶i: XÐt hµm sè f ( x ) = x sin xTX§: R { 0}Víi mäi ( xn ) mµxn ≠ 0 víi mäi n vµ lim xn = 0 ta cã 1 1f ( xn ) = xn sin . V× f ( xn ) = xn sin ≤ xn vµ lim x = 0 xn n xnnªn lim f ( xn ) = 0Do ®ã: lim f ( x) = lim  x sin 1  = 0  ÷ x →0 x →0  x Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè• VÝ dô 2: T×m x 2 + 3x + 2 lim x →−1 x +1 ? Gi¶i Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè x2 + 3x + 2VÝ dô 2: T×m lim x →−1 x +1 x 2 + 3x + 2Gi¶i: XÐt hµm sè f ( x) = x +1TX§: R { −1}Víi mäi ( xn ), xn ≠ −1 vµ lim xn = −1 xn2 + 3xn + 2Ta cã: f ( xn ) = = xn + 2 xn + 1Do ®ã lim ( f ( xn ) = lim ( xn + 2) = 1 x 2 + 3x + 2VËy xlim =1 →−1 x +1 f ( x) = c f ( x) = x lim f ( x) = ? x → x0lim f ( x) = ?x → x0NhËn xÐt:1. NÕu f ( x) = c víi ∀ x ∈ R, trong ®ã c lµ h»ng sè th× víi ∀ x0 ∈ R lim f ( x) = c x → x02. NÕu f ( x) = x víi ∀ x∈ R , th× víi ∀ x0 ∈ R lim f ( x) = x0 x → x0 Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè• 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm b. Giíi h¹n v« cùc:* §Þnh nghÜa 2: Cho (a; b) lµ mét kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ f lµmét hµm sè x¸c ®Þnh trªn (a; b) { x0 } • lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀ ( xn ), xn ∈ (a; b) { x0 } x → x0mµ lim xn = x0 th× lim f ( xn ) = + ∞ • lim f ( x) = − ∞ ⇔ ∀ ( xn ) , xn ∈ (a; b) { x0 } x → x0mµ lim xn = x0 th× lim f ( xn ) = − ∞ dô 3 vÝ 3T×m lim x →1 ( x − 1) 2 ?Gi¶i ô 3 v Ý d 3 lim T×m x →1 ( x − 1) 2 3 f ( x) =Gi¶i: XÐt hµm sè ( x − 1) 2Víi mäi d·y sè ( xn )mµ xn ≠ 1 víi mäi n vµ lim xn = 1 3Ta cã: f ( xn ) = ( xn − 1)2V× lim3 > 0 , lim( xn − 1) 2 = 0 vµ ...