Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 5 - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 5: Chuỗi số và Chuỗi hàm, cung cấp những kiến thức như Dãy số và các phép tính; chuỗi số và các phép tính; chuỗi hàm và các phép tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 5 - Vũ Đỗ Huy CườngGiảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 5 Chuỗi số và Chuỗi hàm Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 119 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1. Dãy số và các phép tính 5.1.1. Khái niệm dãy số Một dãy số vô hạn là một tập hợp có thứ tự của vô số số hạng. Dãy số được mô tả bởi công thức tổng quát là một biểu thức chứa n an = Q(n). (40) Ví dụ √ √ √ √ √ a) an = n: {an } = {1, 2, 3, 4, 5...}. b) bn = (−1)n : {bn } = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1...}. n−1 1 2 3 4 c) cn = : {cn } = {0, , , , ...} n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 d) dn = (−1)n : {dn } = {−1, , − , , − ...}. n 2 3 4 5 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 120 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Trong một số trường hợp, các số trong dãy sẽ tiến tới một giá trị nào đó khi chỉ số n tang. Ví dụ n−1 1 2 3 4 a) cn = : {cn } = {0, , , , ...} → 1. n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 b) dn = (−1)n : {dn } = {−1, , − , , − ...} → 0. n 2 3 4 5 Ngược lại, các số trong dãy có thể không tiến tới một giá trị nào đó khi chỉ số n tang. Ví dụ: √ √ √ √ √ c) an = n: {an } = {1, 2, 3, 4, 5...} → ∞. d) bn = (−1)n : {bn } = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1...} →? . Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 121 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Dãy số {an } hội tụ đến số L nếu với mọi số dương tương ứng với N sao cho ∀n > N, |an − L| < . Ta viết lim an = L hoặc an → L và gọi L là giới hạn của dãy số. n→∞ Nếu không có số L tồn tại, ta nói rằng {an } phân kì. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 122 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Ví dụ: 1 a) lim 1n = 1. b) lim = 0. n→∞ n→∞ n c) lim an = ∞ với (a > 1). d) lim an = 0 với (0 < a < 1). n→∞ n→∞ √ n √ n e) lim n = 1. f) lim ln n = 1. n→∞ n→∞ 1 n 1 n g) lim 1+ = e. h) lim 1− = e−1 . n→∞ n n→∞ n  ∞  t >m>0 nt at + at−1 nt−1 + ... + a0  a t i) lim m+b m−1 + ... + b = t = m, n→∞ bm n m−1 n 0  bm  0 0Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Đặt {an } và {bn } là dãy các số thực. Nếu lim an = A và n→∞ lim bn = B thì ta có các quy luật sau n→∞ (i) lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn = A ± B. n→∞ n→∞ n→∞ (ii) lim (an · bn ) = lim an · lim bn = A · B. n→∞ n→∞ n→∞ an lim an A lim = n→∞ = , (B = 0). n→∞ bn lim bn B n→∞ b lim bn (iii) lim (ann ) = ( lim an )n→∞ = AB . n→∞ n→∞ Nếu dãy {cn } hội tụ thì nó bị chặn. Nếu dãy {cn } tang và bị chặn trên thì nó hội tụ về chặn trên nhỏ nhất của chính nó. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích ...