Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.3 - Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 2.3 - Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên" trình bày các nội dung chính sau đây: Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên; Kỳ vọng của hàm của một biến ngẫu nhiên; Tính chất của kỳ vọng; Phương sai của biến ngẫu nhiên; Phương sai của hàm của một biến ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.3 - Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023(1) Phòng BIS.201–D3.5Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 1/39 SAMI.HUST – 2023 1 / 392.3. KỲ VỌNG, PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN1 2.3.1 Kỳ vọng 2.3.1.1 Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên 2.3.1.2 Kỳ vọng của hàm của một biến ngẫu nhiên 2.3.1.3 Tính chất của kỳ vọng2 2.3.2 Phương sai. Độ lệch chuẩn 2.3.2.1 Phương sai của biến ngẫu nhiên 2.3.2.2 Phương sai của hàm của một biến ngẫu nhiên 2.3.2.3 Tính chất của phương sai 2.3.2.4 Độ lệch chuẩn3 2.3.3 Mốt. Trung vị 2.3.3.1 Mốt 2.3.3.2 Trung vị4 Bài tập Mục 2.3 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 2/39 SAMI.HUST – 2023 2 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênĐịnh nghĩa 5Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là E(X) (hoặc µX hoặc đơn giản là µ), được định nghĩa như sau:(a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận hữu hạn các giá trị khác nhau với bảng phân phối xác suất (1) thì n E(X) = xi p i . (8) i=1(b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một số đếm được các giá trị khác nhau với bảng phân phối xác suất (2) thì ∞ E(X) = xn p n (9) n=1 nếu chuỗi vế phải hội tụ. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 3/39 SAMI.HUST – 2023 3 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênĐịnh nghĩa 5 (tiếp theo) (c) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX (x) thì +∞ E(X) = xfX (x)dx (10) −∞ nếu tích phân vế phải hội tụ. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 4/39 SAMI.HUST – 2023 4 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênVí dụ 18(a) Trong Ví dụ 5, X là biến ngẫu nhiên chỉ số bít bị lỗi trong 4 bít được truyền đi, theo (8), kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là E(X) = (0 × 0, 6561) + (1 × 0, 2916) + (2 × 0, 0486) + (3 × 0, 0036) + (4 × 0, 0001) = 0, 4.(b) Trong Ví dụ 9, X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm được sản xuất giữa hai lần điều chỉnh, theo (9), kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là ∞ E(X) = 0, 001 × n × (0, 999)n−1 = 1000. n=1 (c) Trong Ví dụ 14, X là biến ngẫu nhiên chỉ cường độ dòng điện đo được trên một sợi dây đồng mỏng, theo (10), kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là 20 20 E(X) = xfX (x)dx = 0, 05xdx = 10. 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 5/39 SAMI.HUST – 2023 5 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc có hữu hạn phần tử là một số xác định, còn với biến ngẫu nhiên rời rạc có vô hạn đếm được phần tử hay biến ngẫu nhiên liên tục thì chưa chắc đã có kỳ vọng. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là trung bình có trọng số của các giá trị có thể có của X, với trọng số bằng xác suất. Trong Ví dụ 18(a), mặc dù X không nhận giá trị là 0,4 nhưng trung bình có trọng số của các giá trị có thể có là 0,4. Khái niệm kỳ vọng được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, ví dụ trong kinh doanh và quản lý, kỳ vọng được ứng dụng dưới dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 6/39 SAMI.HUST – 2023 6 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênVí dụ 19Xét trò chơi trả lời hai câu hỏi A và B, người chơi có quyền chọn câu hỏi nào để trả lời đầu tiên. Câu hỏi Ađược trả lời đúng với xác suất 0,8 và khi đó người chơi sẽ được thưởng 100 USD, câu hỏi B được trả lời đúngvới xác suất 0,6 và người chơi được thưởng 200 USD. Nếu không trả lời đúng lần thứ nhất sẽ không được trảlời lần tiếp theo. Vậy người chơi nên chọn câu hỏi nào trả lời đầu tiên để tiền thưởng trung bình nhận đượccao hơn. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.3 7/39 SAMI.HUST – 2023 7 / 39Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênGiải. Gọi X là “số tiền thưởng nhận được khi người chơi chọn câu hỏi A trả lời đầu tiên”. Bảng phân phối xác suất của X là X 0 100 300 P (X = xi ) 0, 2 0, 32 0, 48 và E(X) = 0 × 0, 2 + 100 × 0, 32 + ...