Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương (2014)

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên" cung cấp cho người học các kiến thức: Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất, các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương (2014) Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCMBlog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 11 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại biến ngẫu nhiên2 Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối xác suất3 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất Median - Trung vị Expectation - Kỳ vọng Variance - Phương sai Biến ngẫu nhiên Định nghĩaĐịnh nghĩaBiến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực. X : Ω −→ R ω 7−→ X(ω)Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω).Ví dụ: 1 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc. Ta có X : ω = (ω1 ; ω2 ) −→ ω1 + ω2 2 Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được Ω={Kém,Bình thường,Tốt}. Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R X(Kém)= - 1, X(Bình thường)=0, X(Tốt)=1. 3 Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiênDựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại:Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn hoặc vôhạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.X là bnn rời rạc {x1 , x2 , . . . , xn } , Ω có n phần tử.⇔ X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} , Ω có vô hạn phần tử đếm được.Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục)Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được gọi làbiến ngẫu nhiên liên tục. 4 Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiênVí dụ: 1 Tung 3 con xúc xắc cân đối. Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc xắc. Ta có X là bnnrr và X(Ω) = {3, . . . , 18}. 2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X). Ta có X là bnnrr và X(Ω) = N∗ . 3 Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến 3,9m. Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu nhiên. Ta có X là bnnlt và X(Ω) = [3, 3; 3, 9]. Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạcĐịnh nghĩaPhân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của X, chobiết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng. X x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ...với P(X = xi ) = piTính chất (1) X pi = p1 + · · · + pn + · · · = 1. iTính chất (2) X P(a ≤ X < b) = pi , xi ∈ X(Ω). a≤xi Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạcVí dụ: 1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính P(X ≤ 1). 2 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì dừng. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần. Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tụcHàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục:Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàmmật độ xác suất f(x) có các tính chất sau: f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Z+∞ f(x)dx = 1. −∞ Zb P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx. a 8 Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tụcVí dụ:Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:  0c , x < 1    f(x) =   2 ,x ≥ 1  xa) Xác định c. 3b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ ). 2 9 Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suấtĐịnh nghĩa (Hàm phân phối xác suất)Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX (x), là hàm đượcxác định bởi: FX (x) = P(X < x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞ đến x. Nếu X là bnnrr thì X X FX (x) = P(X = xi ) = pi . xi Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suấtVí dụ: 1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 ...