Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3.4 - Luật số lớn

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 3.4 - Luật số lớn" trình bày các nội dung chính sau đây: Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên; Luật số lớn Chebyshev; Luật số lớn Bernoulli. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3.4 - Luật số lớn VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Chương 3 BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023(1) Phòng BIS.201-D3.5Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 1/17 SAMI.HUST – 2023 1 / 173.4. LUẬT SỐ LỚN1 Ví dụ2 3.4.1 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên3 3.4.2 Luật số lớn Chebyshev4 3.4.3 Luật số lớn Bernoulli Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 2/17 SAMI.HUST – 2023 2 / 17Ví dụVí dụ 23(a) Gieo n lần một đồng xu cân đối đồng chất. Gọi x là số lần xuất hiện mặt sấp trong n lần gieo. Khi đó, tỷ số x/n được gọi là tần suất xuất hiện mặt sấp. Người ta thấy rằng nếu số lần gieo càng lớn thì x/n càng gần tới 1/2 (xem Chương 1).(b) Lặp lại n lần đo độc lập biến ngẫu nhiên X trong cùng một điều kiện như nhau, kết quả của các lần đo là x1 , x2 , . . . , xn . Thực nghiệm cho thấy rằng trung bình số học x1 +x2 +···+xn gần với số E(X) (xem n Chương 2). Câu hỏi đặt ra: 1 “Với điều kiện nào thì x/n hội tụ về xác suất p = P (A)?” x1 +x2 +···+xn 2 “Với điều kiện nào thì n hội tụ về E(X)?” Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 3/17 SAMI.HUST – 2023 3 / 173.4. LUẬT SỐ LỚN1 Ví dụ2 3.4.1 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên3 3.4.2 Luật số lớn Chebyshev4 3.4.3 Luật số lớn Bernoulli Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 4/17 SAMI.HUST – 2023 4 / 17Hội tụ theo xác suấtĐịnh nghĩa 12Xét dãy biến ngẫu nhiên {Xn }∞ và biến ngẫu nhiên X trong cùng một phép thử. Dãy các biến ngẫu nhiên n=1{Xn }∞ được gọi là hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0, n=1 lim P (|Xn − X| > ε) = 0. (31) n→∞ Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞ hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X thì với n đủ lớn, thực tế n=1gần như chắc chắn ta có thể coi rằng Xn không khác mấy so với X. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 5/17 SAMI.HUST – 2023 5 / 17Hội tụ theo phân phốiĐịnh nghĩa 13Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞ được gọi là hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu n=1dãy các hàm phân phối xác suất {FXn (x)}∞ hội tụ về hàm phân phối FX (x) khi n → ∞. Tức là n=1 lim FXn (x) = FX (x). (32) n→∞ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 6/17 SAMI.HUST – 2023 6 / 173.4. LUẬT SỐ LỚN1 Ví dụ2 3.4.1 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên3 3.4.2 Luật số lớn Chebyshev4 3.4.3 Luật số lớn Bernoulli Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.4 7/17 SAMI.HUST – 2023 7 / 17Bất đẳng thức ChebyshevĐịnh lý 15 (Bất đẳng thức Markov)Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm có kỳ vọng hữu hạn. Khi đó, với ε > 0 tùy ý cho trước, ta có E(Y 2 ) P (Y ≥ ) ≤ 2 . (33)Định lý 16 (Bất đẳng thức Chebyshev)Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = µ và phương sai V (X) = σ 2 hữu hạn. Khi đó, với ε > 0 tùy ýcho trước, ta có σ2 P (|X − µ| ≥ ε) ≤ (34) ε2hay tương đương σ2 P (|X − µ| < ε) ≥ 1 − . (35) ...