Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm trình bày các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, xấp xỉ quy luật nhị thức. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâmGiảng viên:Chu Bình MinhBài giảngXác suất thống kêNam Dinh,Februay, 2008 PHẦN 1 XÁC SUẤTCHƯƠNG 3LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂMCho ?1 , ?2 , … , ?? là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc vàochỉ số n. Chương này nhằm mục đích nghiên cứu xemkhi n khá lớn thì ?? có tính chất gì đặc biệt hay không.Trước hết ta cần định nghĩa sự hội tụ của ?? về mộtbiến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa như thế nào. Sau đâysẽ trình bày hai kiểu hội tụ cơ bản.I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN1. Hội tụ theo xác suất Định nghĩa Dãy biến ngâu nhiên ?1 , ?2 , … gọi là hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên Z khi ? → ∞ nếu: Với mọi ε > 0, ? ?? − ? > ? → 0 ??? ? → ∞ (tương đương với ? ?? − ? ≤ ? → 1 ??? ? → ∞) ? Ký hiệu: ?? → ? Nghĩa là với mọi ε,δ cho trước nhỏ tùy ý thì với xác suất ít nhất 1 – δ ta sẽ có |?? − ?| ≤ ? nếu n đủ lớn.I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN1. Hội tụ theo xác suấtVí dụCho day biến ngẫu nhiên ?? có hàm mật độ: 0 ??? ? < 0 ?? (?) = , ? ∈ ?, ? > 0 ?. ?? −??? ??? ? ≥ 0 ?Chứng minh ?? → 0GiảiVới mọi ε > 0 cho trước ta có: +∞ ? ?? − 0 > ? = ? ?? > ? = ?. ?? −??? ?? ? −??? +∞ = −? ? = ? −??? 0 ?→+∞I. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN2. Hội tụ theo phân phốiĐịnh nghĩaDãy biến ngâu nhiên ?1 , ?2 , … gọi là hội tụ theo phân phốivề biến ngẫu nhiên Z khi ? → ∞ nếu: lim ??? ? = ?? (?) , ∀? ∈ ? ?→+∞ ⇔ lim ?(?? < ?) = ?(? < ?) ?→+∞ ?Ký hiệu: ?? → ?Với ??? ? , ?? (?) là các hàm phân phối của ?? , ?.II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevĐịnh lýCho Y biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với mọi a > 0ta có: ?? ? ?>? ≤ ?II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevChứng minhCho Y là biến ngẫu nhiên rời rạc, giả sử C là tập giá trịcủa Y.Khi đó ?? = ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ≥ ?? ?? ? ? ∈? ? ? ≤? ? ? >? ? ? >? ≥? ?? = ??(? > ?) ? ? >?Trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục chứng minhtương tự.II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevHệ quảCho X là biến ngẫu nhiên với EX = μ. Khi đó với mọi ε >0 ta có: ?? ? ?−? >? ≤ 2 ?Tương đương với ?? ? ?−? ≤? >1− 2 ?II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevChứng minhĐặt ? = (? − ?)2 , khi đó: 2 2 ?? ? ? − ? ??? ?−? >? =? ? >? ≤ 2 = = 2 ? ?2 ?II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevVí dụMột cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng sai số sốvải bán ra trong một tháng của mình. Số vải của mỗikhách hàng được làm tròn bởi số nguyên gần nhất ( Thídụ trong sổ ghi 195,6 m thì làm tròn thành 196 m). Kíhiệu ?? là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vảiđã tính tròn của khách hàng thứ i. Với xác suất ít nhất0,99 hãy ước lượng sai số giữa số mét vải thực bán và sốmét vải đã làm tròn trong tháng biết số khách mua hàngtrong tháng là 1 vạn khách.II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevGiảiCác sai số ?1 , ?2 , … , ?? là các biến ngẫu nhiên độc lập vàcó phân phối đều trong đoạn [-0,5; 0,5]. Khi đó 1 ??? = 0, ??? = , ? = 1. . ? 12Khi đó sai số tổng cộng trong tháng là ? = ?1 + ?2 + ⋯ + ??II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevTa có: ? ?? = ??? = 0 1 ? ? ?? = ??? = 12 1Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có: ?? ? ? ? − ?? > ? = ? ? > ? ≤ 2 = ? 12? 2 ?? ? ? ? ≤? ≥1− 2 =1− ? 12? 2II. LUẬT SỐ LỚN1. Bất đẳng thức ChebysevDo ? = 104 khách hàng trong tháng. Theo giả thiết tacó: ? ? ≤ ? ≥ 0,99Nên ? ? 1− 2 ≥ 0,99 ⇔ 2 ...