Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên (Trường ĐH Thương mại)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: ước lượng điểm; ước lượng bằng khoảng tin cậy; ước lượng kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên; ước lượng tỷ lệ của đám đông; ước lượng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên (Trường ĐH Thương mại) CHƯƠNG 5 ƯỚC LƯỢNGCÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN Chương 5 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN1. Ước lượng điểm.2. Ước lượng bằng khoảng tin cậy.• Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.• Ước lượng tỷ lệ của đám đông.• Ước lượng phương sai của ĐLNN. Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.1 Ước lượng điểmGiả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đámđông nào đó. • Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn) • Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn). • Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính toán θ*tn = f (x1,x2,…,xn) Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ. Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.1 Ước lượng không chệch. Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu E(θ*) = θNgược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ . Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM1.2 Cáctiêuchuẩnđánhgiábảnchấttốtcủaướclượng.1.2.1 Ướclượngkhôngchệch.Ta có: X làướclượngkhôngchệchcủaμ. S’ 2làướclượngkhôngchệchcủaσ 2.Nếuθ*làướclượngchệchcủaθvàđượcgọilàướclượngtiệmcậnkhôngchệchnếu θ =θ. Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1.2.2 Ước lượng vững. Thống kê θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε >0 ta có: lim P(  *     )  1 n  Theo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì: • X là ước lượng vững của μ. • f là ước lượng không chệch của p. Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.3 Ước lượng hiệu quả (ước lượng không chệch tốt nhất). Thống kê θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó làước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với cácước lượng không chệch khác trên cùng một mẫu. • X là ước lượng hiệu quả của μ. • f là ước lượng hiệu quả của p. Chương 5 §1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.4 Ước lượng đủ. Thống kê θ* được gọi là ước lượng đủ của θ nếu nó chứatoàn bộ thông tin từ mẫu. Trung bình mẫu, phương sai mẫu … là các ước lượng đủChú ý: Tuy ước lượng điểm đơn giản nhưng có hạn chế làkhông biết sai số cũng như có thể gặp sai số rất lớn nếu kíchthước mẫu nhỏ. Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY2.1 Khái niệm.Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đông.• Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn),• Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê: G = f(X1,X2, …, Xn, θ)sao cho G có quy luật xác định và có biểu thức chứa θ. Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬYVớiγ = 1- αchotrước, xácđịnhα1≥ 0, α2 ≥0 thỏamãnα1+ α2 = α.Từđóxácđịnhcácphânvị g1- α1và gα2: P(g Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬYChú ý: + Thường chọn độ tin cậy khá lớn như 0,9; 0,95 hay0,99…. theo nguyên lý xác suất lớn thì biến cố (θ*1 < θ < θ*2 )hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. + Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α. Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY + Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Studentnếu chọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin ngắn nhất và đó là cáckhoảng tin cậy đối xứng + Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ tachọn α1= α hoặc α2 = α Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY2.2 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN. Giả sử ĐLNN X trên đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2trong đó μ chưa biết.2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết. Vì X ~ N(μ; σ2) nên 2 X  X ~ N (; ) U  ~ N (0;1) n  n Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, phươngsaiđãbiết.•Khoảng tin cậyđối xứng (α1 = α2=α/2)Vớiđộ tin cậy 1- αtatìmđượcphânvị uα/2saocho P(- uα/2< U< uα/2 ) = 1- α P(− uα/2 < σ < uα/2 ) = 1− α σ σ P( uα/2 + uα/2) = 1- α Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết. P( X      X   )  1    Khoảng tin cậy đối xứng của μ: (X  ; X  )  trong đó  u n 2 Chương 5 §2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬYKhi đó: * Độ tin cậy của ước lượng là 1- α = γ . * Khoảng tin cậy đối xứng: ( X   ; X   ) * Độ dài của khoảng tin cậy I = 2ε. * Sai số của ước lượng là ε. Chú ý: Nếu khoảng tin cậy đối xứng là (a; b) thì sai số của ước lượng được tính theo công thức: ε = (b-a)/2. Chương 5 §2. Ư ...